1、2007 年春季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设 x=3142 ，y=3 14 是由某准确值通过四舍五入得到的近似值，试分析 ln(xy)的绝对误差限和相对误差限2 给定非线性方程 ex+lnx-3=0 1)分析该方程实根个数； 2)用 Newton 迭代法求方程所有实根，精确到 4 位有效数字3 1)设 A= 求 cond(A)2；2)设 ARnn 非奇异，BR nn 奇异，证明：4 给定线性方程组 其中 a 为常数试写出求解上述方程组的 Jacobi 迭代格式，并分析当 a 取何值时 Jacobi 迭代收敛5 求一个 3 次多项式 p(x)，使其满足 p
2、(1)=1， p(1)=2， p(2)=3 ， p“(2)=4 6 求常数 ， ，使积分 取最小值7 已知求积公式 1)求求积公式的代数精度；2)设 f(x)充分光滑，求求积公式的截断误差8 考虑常微分方程初值问题 记 h=(ba)/n，x i=a+ih，i=0，1，n给定求解上述初值问题的公式 y i+1=yi-1+ f(xi+1，y i+1)+4f(xi，y i)+f(xi-1,yi-1)，求该公式的局部截断误差及阶数9 考虑偏微分方程初边值问题 (A)取正整数 M，N，记 h=1/M，=TN，x i=ih，0iM，t k=k，0kN 1)试建立求解初边值问题(A) 的一个显式差分格式，要
3、求截断误差为 O(+h2)；2)对固定的 k，将差分格式用矩阵和向量表示10 设 f(x)在a，b上 3 阶连续可导，且 f(a)=f(b)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得2007 年春季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 e(x) 10-3e(y) 10-2.2 【正确答案】 1)令 f(x)=ex+lnx-3，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=e-30，f(2)=e2+ln230又当 x0 时 f(x)=ex+ 0，所以方程有唯一实根 x*1，22)Newton 迭代格式为 xk+1=xk- k=0，1，取初值 x0=15，计
4、算得x1=1 1334， x23 【正确答案】 1) 2)因为 B 奇异，所以存在 xRn，x0，使得 Bx=0，从而有(AB)x=Ax x=A-1(AB)x，两边取范数得x=A -1(AB)xA-1A-Bx因为 x0，所以 x0，因此得A -1A-B1，即4 【正确答案】 Jacobi 迭代格式为 Jacobi 迭代矩阵 J 的特征方程为 从而 所以当 时 Jacobi 迭代收敛5 【正确答案】 先求一个 2 次多项式 q(x)满足 q(1)=1，q(1)=2，q(2)=3 ，易求得q(x)=1+2(x-1)令 R(x)=p(x)-q(x)，则 R(x)是 3 次多项式，且 R(1)=R(1
5、)=R(2)=0，所以 R(x)=A(x-1) 2(x-2) p(x)=q(x)+A(x-1)2(x-2)由 p“(2)=4A=4，得 A=1，因此p(x)=1+2(x-1)+(x-1)2(x-2)6 【正确答案】 取 0(x)=x， 1(x)=x2，则 ( 0,0)=01x2dx= ,(0， 1)=01x3dx= ，( 1， 0)= ，( 1,7 【正确答案】 1)令 f(x)=1，左= 011dx=1，右=1；令 f(x)=x，左= 01xdx= ，右= ；令 f(x)=x2，左= 01x2dx= ，右= ；令 f(x)=x3，左= 01x3dx= ，右= 所以求积公式的代数精8 【正确答
6、案】 R i+1=y(xi+1)-y(xi-1) - f(xi+1，y(x i+1)+4f(xi，y(x i)+f(xi-1,y(xi-1)=y(xi+1)-y(xi-1)- y(xi+1)+4y(xi)+y(9 【正确答案】 1)考虑(x i，t k)点的方程 记Uik=u(xi，t k)，则有 其中 tk ikt k+1，x i-1 ik i+1,xi-1 ik10 【正确答案】 作 2 次 Hermite 插值多项式 H(x)，使其满足 H(a)=f(a)，H(b)=f(6)，H(b)=f(b)，由于 f(a)=f(b)=f(b)=0，所以 H(x)=0由 Hermite 插值多项式的余项得f(x)-H(x)=f(x)= (x-a)(x-b)2，(a ，b)，所以
