1、2009 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 1)设 x1=51074，x 2=80119 均具有 5 位有效数字，试估计由这些数据计算 x1x2具有几位有效数字； 2)利用秦九韶算法计算多项式 p(x)=8x56x4+4x32x2+3x+1在 x=2 处的值2 设 3 次代数方程 x35x22x+1=0 的最大实根为 x*任取 x0，用 Newton 迭代法可得迭代序列x kk=0.证明：如果 x0x *，则有3 给定线性方程组 Ax=b，其中 1)写出 Jacobi 迭代格式；2)设 A 是按行严格对角占优矩阵，即 A 满足证明：Jacobi 迭代法收敛4
2、设 f(x)=x43x3+x210，x 0=1，x 1=2，x 2=3，x 3=0 1)写出 f(x)以 x0，x 1，x 2，x 3为节点的 3 次 Lagrange 插值多项式 L3(x)； 2)写出 f(x)以 x0，x 1，x 2，x 3 为节点的3 次 Newton 插值多项式 N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式5 求 a 和 b，使得 e x-(a+bx)取最小值，并求该最小值6 给定积分 取正整数 M，将区间a，b作 M 等分，并记 h=(ba)M，x i=a+ih，i=0 ，1，M1)利用函数值 f(x0)，f(x 1)，f(x M)作 f(x)的分段一次插值
3、多项式 S(x)，给出 S(x)的表达式；2)利用 S(x)构造计算 I(f)的数值求积公式 并写成 的形式，给出 Ai 的表达式；3)设 f(x)C2a，b ，试估计截断误差 I(f)-IN(f)7 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，0in 试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数8 设 2 阶抛物方程初边值问题有光滑解 u(x，t)，其中 (0)=1(0)，(1)= 2(0)取正整数 M 和 N，并记h=1M，x i=ih，0iM ；=TN，t k=k，0kN 对(A) 建立一个无条件稳定且是收敛的差分格式1)给出差分格式截断误差的表达式
4、；2)分析差分格式的解对右端函数和初值的稳定性；3)证明差分格式的收敛性2009 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 1)e(x i) 10-4，e(x 2) 10-3，e(x 1x2)x2e(x1)+x1e(x2)，e(x 1x2)x 2e(x1)+x1e(x22 【正确答案】 方法 1：记 f(x)=x35x22x+1，则 f(x)=3x2-10x-2， =10243(-2)=1240所以 f(x)=0 有两实根 xi*，x 2*，且 x1*x2*=-2/30.又 f(0)=1，所以 f(x)的图像如图所示，即 f(x)3 【正确答案】 1)Ja
5、cobi 迭代格式为 2)Jacobi迭代矩阵为 所以 Jacobi 迭代格式收敛4 【正确答案】 根据题意，可得 f(x0)=-11，f(x 1)=-14，f(x 2)=-1，f(x 3)=-101)3 次Lagrange 插值多项式为2)计算差商表：3 次 Newton 插值多项式为 N3(x)=-11+(-3)(x1)+8(x-1)(x2)+3(x1)(x-2)(x-3)3)f(x)-L 3(x)=f(x)-N3(x)= (x-x5 【正确答案】 f(x)=e x，f(x)=f“(x)=e x0，而 p(x)=a+bx，则 f(x)-p(x)关下 0 有 3个交错偏差点 x0=1，x 1
6、(1，2)，x 2=2f(x 0)-p(x0)=-f(x1)-p(x1)=f(x2)-p(x2)，f(x 1)-p6 【正确答案】 1)当 xxi，x i+1时 S(x)=f(xi) +f(xi+1) f(x)-S(x)= f“(i)(xxi)(x-xi+1)， i(xi，x i+1)，i=0 ，1，M-12)I N(f)=3)I(f)-IN(f)7 【正确答案】 由 y=f(x，y)可得 y“=fx+fyy,y“=fxx+fxyy+(yyx+fyyy)y+fyy“。该公式是一个 2 阶公式8 【正确答案】 1) u(xi,tk)-u(xi,tk-1)=ut(xi,tk)- utt(xi,k)， u(xi+1,tk)-2u(xi,tk)+u(xi-1,tk
