1、2009 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设 n 次代数方程 xn+a1xn-1+a2xn-2+an-1x+an=0 有 n 个实根，其最大实根为 x*任取 x0，用 Newton 迭代法可得迭代序列x kk=0证明：如果 x0x *，则有2 给定线性方程组 Ax=b，其中 1)写出 Gauss-Seidel 迭代格式 2)设 A 是按行严格对角占有矩阵，即 A 满足 a ij aii,i=1,2,n,证明：Gauss-Seidel 迭代法收敛3 求 a 和 b，使得 x 4-(a+bx)取最小值，并求该最小值 .4 给定积分 I(f)=abf(x)sinn
2、xdx，其中 n 为较大的正整数取正整数 M，将区间a， b作 M 等分，并记 xi=a+ih，i=0 ，1，M1)利用函数值 f(x0)，f(x1)，f(x M)作 f(x)的分段一次插值多项式 S(x)，给出 S(x)的表达式；2)利用S(x)构造计算 I(f)的数值求积公式 IN(f)=abS(x)sinnxdx，并写成 的形式，给出 Ai 的表达式；3)设 f(x)C2a，b，试估计截断误差 I(f)-IN(f)5 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)n，x i=a+ih，0in 试分析下列求解公式的局部截断误差，并指出其阶数6 设两点边值问题 (A)具有光滑解 u
3、(x)，取正整数 M，并记 h=1M 将区间0 ，1作步长为 h 的网格剖分试对问题(A) 建立一个 4 阶精度的差分格式1)给出差分格式截断误差的表达式；2)证明差分格式的收敛性；3)给出求解差分格式的思路7 设二阶抛物方程初边值问题 (B)有光滑解 u(x，t) ，其中 a(x，t)0取正整数 M 和 N，并记h=1M，=TN，x i=ih，0iM，t k=k，0kN 对(B)建立一个无条件稳定且是收敛的差分格式1)给出差分格式截断误差的表达式；2)分析差分格式的解对右端函数和初值的稳定性；3)证明差分格式的收敛性2009 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1
4、【正确答案】 记 p(x)=xn+a1xn-1+an-1x+an，则有 P(x)=q(x)(xx*)m，当 xx*时，q(x)0，q(x) 0；m1 为整数 Newton 迭代公式为 xk+1=xk+1-x*=由条件知 x0x2 【正确答案】 1)Gauss-Seidel 迭代格式为2)迭代矩阵 G 的特征方程为当1 时，由条件 得因而 是一个严格对角占优矩阵，其行列式0也就是说的根 必须满足1，即 (G)1因而 Gauss-Seidel 迭代法收敛3 【正确答案】 设 f(x)=x4，则 f(x)=4x3，f“(x)=12x 2 当 x1，2时，f“(x)0所以 f(x)-p(x)在 1，2
5、上有 3 个交错偏差点：x 0=1，x 1(1，2)，x 2=2，且满足 f(1)-p(1)=-f(x1)-p(x1)=f(2)-p(2)，f(x 1)-P(x14 【正确答案】 1)当 xxi，x i+1时 S(x)= i=0，1，M-1，f(s)-S(x)= f“(i)(x-xi)(x-xi+1),i=i(x)(xi,xi+1)2) 3)I(f)-IN(f)= f(x)-S(x)sin(nx)dx= f“(i5 【正确答案】 y=f(x，y)，y“=f x(x，y)+f y(x，y)y，y“=f xx(x，y)+f xy(x，y)y+(fxy(x，y)+f yy(x，y)y)y+f y(x，y)y“这是一个 2 阶公式6 【正确答案】 1)-u“(x)+u=f(x)，-u (4)(x)+u“(x)=f“(x) -u(4)+u=f+f“ u(xi+1)-2u(xi)+u(xi-1)=uxx(xi)+ ux4(xi)+ ux6(i)=u(7 【正确答案】 1)由 Taylor 展开得 u(xi,tk-1)=u(xi,tk)uk(xi,tk)+ utt(xi,ik)， u(xi,tk)-u(xi,tk-1)=ut(x
