1、2010 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设 x=112109 ，y=20 0911 是通过四舍五入得到的近似值，z=xsiny，试分析函数 z 的绝对误差限、相对误差限和有效数字2 用迭代法求方程组 的所有实根，精确到 4 位有效数字3 已知矩阵 求A ，A 2 及 cond(A)24 给定线性方程组 其中 ， 为常数设有求解上述方程组的迭代格式 Bx(k+1)+Cx(k)=b，k=0，1，(A) 其中问 ， 满足什么条件时迭代格式(A) 收敛?5 设 f(x)=ex，将区间0，1作 n 等分，记 xi=in，i=0 ，1，n 1)写出函数 f(x)在0，
2、 1的分段线性插值函数 ； 2)若要使 ，则 n 至少应取多大?6 求函数 在0，1 上的 1 次最佳一致逼近多项式 p1(x)=a+bx7 给定积分 I(f)= 1)写出求 I(f)的 Simpson 求积公式 S(f)； 2)如果 fC4a，b，证明：存在 (a，b) ，使得8 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x ia+ih，i=0，1， ，n；y iy(xi)，1in ，y 0=设有下面的求解公式：试求上述求解公式的局部截断误差表达式和阶数9 给定下面的初边值问题 其中是光滑函数，满足 =0取正整数 M，N，记h=1M，=1/N，x i=ih(0iM)，t k=
3、k(0kN)设有求解上述问题的差分格式1)写出上述差分格式的截断误差表达式； 2) 证明：u ky0， k=1，2，N10 设 X 是一个内积空间，(.,.)为内积， 是 x 的一个 n 维子空间fx， 对 ，1i，jn ，b i=(f， )，1in，矩阵 A=aij，b=(b 1，b 2，b n)T 1) 证明：线性方程组 Ax=b 存在唯一解；2)如果 P 满足f-p= f-q证明：c 1，c 2，c n 是线性方程组 Ax=b 的解2010 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 e(x) 10-4，e(y) 10-4，e(x)(sin y)e(x
4、)+x(cos y)e(y)2285610 -4e r(z)= 2154510 -5 因为 Z=10608699586，又e(x)0510 -3，所以 z 具有 5 位有效数字2 【正确答案】 将方程 x=y+1 代入第二个方程得(y+1) 2-2y=2+ey，即 y21=ey作函数 z=y21 及 Z=ey 的图像(如下所示) ，得知方程 y21=ey 有一个实根 y*(-1，-2)用 Newton 迭代求方程 y21=ey 的根迭代格式为计算得 y3 【正确答案】 A =6A 对称，所以A 2=(A) A 的特征方程为求得特征值 1,2=3， 3=6 所以A 2=6，cond(A) 2=6
5、3=24 【正确答案】 将迭代格式写为 x(k+1)=-B-1Cx(k)+B-1b由迭代收敛性定理得该格式收敛的充要条件是 (-B-1C)1 迭代矩阵的特征方程为 I+B -1C=B -1(B+C)= B-1B+C=0，即B 十 C=0将矩阵代入得求得特征值 1=0， 2=5 【正确答案】 1)当 xxi，x i+1时 =f(xi)+fxi，x i+1(xxi)=exi+n(exi+1-exi)(xxi)，i=0，1 ， n-12) 从而得 n82436，故取n=8256 【正确答案】 记 f(x)= ，则 f“(x)= 在(0，1)上保号，所以 f(x)-p1(x)在0，1上有 3 个偏差点
6、：0，x 1，1，其中 x1(0，1)由特征定理得即 求得7 【正确答案】 1) 2)作 f(x)的 3 次 Hermite 插值多项式 H(x)，满足 则 H(x)难一确定，且有由插值条件和 Simpson 公式的代数精度以及积分中值定理得8 【正确答案】 局部截断误差为该公式是 2 阶公式9 【正确答案】 1)由 Taylor 展开得截断误差为2)记 r=h 2，s=h，则差分格式可写为(1+2r)u ik+1=(t+s2)u i-1k+1+(rs2)u i+1k+1+uik， i=1，2，M-1；k=0 ，1， ，N-1，易知 上式两边取绝对值，对k=0，1 ， N-1 有(1+2r)u10 【正确答案】 1)A 对称，对 =(x1，x 2，x 3)TRn 有当 x0 时，由于1， 2， n 线性无关，所以 因而 xTAx0 A 正定 A 非奇异2)记 则 (a1，a 2，a n)=f-q2=*
