1、2010 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 已知方程 x36x2+11x-6=0 有整数根 x1=1，x 2=2，x 3=3设 是一个小正数考虑方程(1+)x 3-6x2+11x-6=0，设其根为 x1()，x 2()，x 3()，且1)求 2)若=10-4，求 x1()，x 2()，x 3()的近似值2 求矩阵 A= 的 2 范数A 2 和 2 条件数 cond(A)2，精确到 3 位有效数字3 考虑线性方程组 Ax=b， (A)其中 ARnn，x Rn，b Rn设已将其写成了同解线性方程组 x=Bx+d，(B)且有B 1 1)证明(A)存在唯一解 x*；
2、2)给出求解(B)收敛的迭代解法，并证明迭代解法的收敛性4 设 f(x)=sinx，x0，求一个次数不超过 5 的多项式 p(x)，使得函数 f(x)和p(x)的曲线在点 (0，0)， (,0)处相交且相切，并给出 的估计式5 称型如 的积分为带权 的积分设 x0，x 1，x m 为区间a， b中的 m+1 个互异点，A 0，A 1，A m 为 m+1 个与 f(x)无关的常数称型如的公式为计算积分 I(f)的数值求积公式现设 h=(ba)m，x i=a+ih，0im ，应用插值多项式的有关结果构造一个计算 I(f)的数值求积公式 IN(f)(写出 Ai 的表达式即可)，要求该公式至少是 2
3、阶的，并给出其截断误差I(f)-IN(f)的型如 cf(p)hk 的估计式，其中 c 为常数，p 和 k 为正整数，f (p)=6 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，0in 分析预测-校正公式 的局部截断误差，并指出该公式是一个几阶公式7 设 h=1m ，x i=ih，0im， h=xi0im记 h 上的所有网格函数的集合为v设 u=(u0，u 1，u m)v，定义 证明：对所有 uv，存在与 u 无关的常数 c，使得u 2c(u2+u 12)成立8 取正整数 m，n，记 h=1m，=Tn，x i=ih，t k=k，分析差分格式(C)对初值的稳定性
4、9 考虑热传导方程初边值问题 (D)其中 f(x，t)，(x)为光滑函数， 为正常数取正整数 M，N ，记h=1M，=TN，x i=ih，t k=k，且设问题(D)存在光滑解对(D) 构造一个收敛的差分格式，并证明收敛性2010 年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 1)由条件得(1 十 )x36x2+11x-6=(1+)xx1()xx2()xx3()，上式两边关于 求导得 x3=xx1()xx2()xx3()+(1+)-x1()xx2()xx32 【正确答案】 因为 A 是对称正定矩阵，设其最大特征值为 max，最小特征值为min，则 展开得 362
5、+10-4=0 方法 1：( 24+2)(-2)=0 所以A 2= cond(A)2=方法 2：令 f()=362+10-4，则 f()=3213 【正确答案】 1)因为(A)和(B) 同解，故只要证明(B)有唯一解又 (B)B1，故 1 不是 B 的特征值，从而行列式IB0，即 IB 可逆，所以方程(IB)x=d存在唯一解，即(B)有唯一解 2)记(B)的唯一解为 x*，即有 x*=Bx*+d 构造迭代格式 x k+1=Bxk+d，k=0，1，将上面两式相减得 x*-xk+14 【正确答案】 f(x)=cos x，f(0)=cos 0=1 ， f()=cos=-1，所以插值条件为 p(0)=
6、0， p()=0，P(0)=1 ， ,P()=-1列差商表如下：所以5 【正确答案】 在x i-1，x i上作 f(x)的 1 次插值多项式则有令则6 【正确答案】 y i+1= f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1(p)=yi+ f(xi，y i)+f(xi+1,yi+ (3f(xi，y i)-f(xi-1，y i-1)7 【正确答案】 记 xui-1/2= (uiui-1)当 0jim 时 ui=uj+ (ul-ul-1)=uj+h xul-1/2两边平方，并应用 Cauchy 不等式有 类似的，当 0iJm 时有*1观察和可知，对任意 0jm 有 u8 【正确答案】 注意到 用 乘以(C)，并对 i 求和，得 应用分部求和公式，并注意到 tv0k=0， tvmk=0，有 将其代入得 即1kn-1 递推可得1kn-19 【正确答案】 由 Taylor 展开得考虑方程可得 u(xi,tk)-u(xi,tk-1)- u(xi-1,tk)-2u(xi,tk)+u(xi+1,tk) =f(xi，t k)+rik，
