1、2011 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 及答案与解析1 已知 x=3 456 和 y=0 1234 是具有 4 位有效数字的近似值，试分析 xy 及 x2y的绝对误差限和相对误差限2 给定方程 x2+sinx-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到 4 位有效数字3 用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程纽的解：4 给定下面的线性方程组 1)分别写出求该方程组的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式； 2)分析 Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性5 已知 f(x)的如下信息： 求一个 4 次多项式 H(x)，使得
2、H(xi)=f(xi)，0i2； H(x i)=f(xi)，i=0 ，26 求函数 f(x)= 在0，1上的一次最佳平方逼近多项式 p 1(x)=c0+c1x7 确定下面公式中的参数 c，使求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出达剑的最高次代数精度的次数8 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i=a 十 ih，i=0，1， 2，n；y iy(xi)，1in，y 0=试求下面公式的局部截断误差和阶数：2011 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 答案与解析1 【正确答案】 根据题意，知e(x) 10-3，e(y) 10-4，e(xy)e(x)+e(y) 1
3、0-3+ 10-4=05510 -3，2 【正确答案】 改写方程为 sinx=1-x2，作函数 y=sinx 和 y=1-x2 的图像(如下图)，由图像知方程有两个实根 x1*0，1 ，x 2*-2，-1构造 Newton 迭代：x k+1=xk-k=0，1，2，取初值 x0=05，计算得 x1=0644108，x 23 【正确答案】 对应的三角形方程为 求得 x1=1，x 2=1，x 3=84 【正确答案】 1)Jacobi 迭代格式为GaussSeidel 迭代格式为2)Gauss-Seidel 迭代矩阵 G 的特征方程为展开得 243+22+2+3282+42=0，即 (242+2)=0
4、求得1=0， 因为 所以 Gauss-seidel 迭代收敛5 【正确答案】 由 Hermite 插值可知 H(x)=f(1)+y1，1(x-1)+f1 ，1，2(x-1)2+f1， 1，2， 4(x-1)2(x-2)+f1，1，2，4，4(x-1) 2(x-2)(x-4)列表求差商：所以 H(x)=-1+4(x-1)-2(x-1)2- (x-1)2(x-2)- (x-1)2(x-2)(x-4)6 【正确答案】 取 0(x)=1， 1(x)=x，则 ( 0， 0)=011dx=1，( 0， 1)=01xdx= ，( 1， 0)=01xdx= ，( 1， 17 【正确答案】 当 f(x)=1，左=ba，右=b-a；当 f(x)=x，左= (b2-a2)，右= (b2-a2)；当 f(x)=x2，左= (b3-a3)，右= (a2+b2)+c(b-a)2(2a2b)要使公式具有尽可能高的代数精度，则 (a2+b8 【正确答案】 局部截断误差为该公式的阶数是 2
