1、2011 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案与解析1 设 x=1231 ，y=0 5122 是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数 exy 的绝对误差限和相对误差限2 给定方程 x3+2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到 4 位有效数字3 用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程组的解：4 给定线性方程组 写出求解上述方程组的 Gauss-Seidel迭代格式，并分析收敛性5 已知 f(x)=xex，求一个 3 次多项式 H(x)，使之满足 H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H(0)=f(0)，H“(1)=f“(1)6 求 a，b
2、，使得积分 取最小值7 试用 Simpson 公式计算积分 的近似值，精确到 4 位有效数字8 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1，2 ，n；y iy(xi)，1in ，y 0=求常数 A，B，使数值求解公式 yi+1=yi 十 hA，(x i+1,yi+1)+ f(xi，y i)+Bf(xi-1,yi-1)，1in-1 的阶数尽可能高，并求出公式的阶数和局部截断误差表达式2011 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案与解析1 【正确答案】 根据题意，可知e(x) 10-3，e(y) 10-4，e(e xy) ye xye(
3、x)+xexye(y)e xy(ye(x)+xe(y)0596710 -3，2 【正确答案】 改写方程为 x3=-2x+1，作函数 y=x3 和 y=-2x+1 的图像(见下图)，由图像知方程有一个实根 x* 构造 Newton 迭代格式：xk+1=xk- k=0，1，2，取初值 x0=025，计算得x1=0 47143，x 2=045357 ，x 3=045340，x 4=03 【正确答案】 求得x1=1， x2=1， x3=-1，x 4=-14 【正确答案】 Gauss-Seidel 迭代格式为GaussSeidel 迭代矩阵的特征方程为展开得 43422+82+2222=0，即 (22+
4、2-1)=0，求得1=0， 因为 所以 Gauss-Seidel 迭代发散5 【正确答案】 作 2 次插值多项式 p(x)，满足 p(0)=f(0) p(1)=f(1)，P(0)=f(0)，则 p(x)=f(0)+f0,0x+y0，0，1x 2列表求差商： 可得 p(x)=x+(e-1)x2由插值条件易知 H(x)=p(x)+Ax2(x-1)，其中 A 为待定系数由条件 H“(1)=f“(1)得 2(e-1)+4A=3e，求得 A= 所以 H(X)=x+(e-1)x2+ x2(6 【正确答案】 取 0(x)=1， 1(x)=x2，则( 0， 0)=-111dx=2，( 0， 1)=-11x2dx= ，( 1， 0)=-11x27 【正确答案】 由复化 Simpson 公式得 S1(f)= f(1)+4f(15)+f(2)= (e-1+4e-1.52+e-22)=013463，S 2(f)= f(1)+4f(125)+2f(15)+4f(175)+f(2)=013521，因为 S 2(f)-S1(f)=038675108 【正确答案】 求解公式的局部截断误差为 R i+1=y(xi+1)-y(xi)-Ahf(xi+1，y(x i+1)-hy(xi，y(x i)-Bhf(xi-1，y(x i-1)=y(xi+1)-y(xi)-Ahy(xi+1)- hy(x
