1、2012 年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案与解析1 设 x=043980 ，y=1 5324，z=11 5012 均是具有 4 位有效数字的近似值，试分析 xyz 的绝对误差限、相对误差限和有效数字2 用列主元 Gauss 消去法求下面方程组的解：3 已知方程 x3+2x-1=0 在0，1上有唯一实根 x*证明：对任意初值 x00，1，迭代格式 均收敛于 x*，并分析该迭代格式的收敛阶数4 设 A=aijRnn，且 aii0，i=1，2，n；b=(b 1，b 2，b n)TRn；x=(x 1，x 2，x n)TRn 1)写出解线性方程组 Ax=b 的 Gauss-Se
2、idel 迭代格式； 2) 如果 A 是对称正定矩阵，证明：Gauss-Seidel 迭代格式收敛5 设函数 f(x)=sinx，取正整数 n，将区间0，1作 n 等分，记h=1n ，x i=ih，i=0，1，n 1) 求函数 f(x)以 xi(i=0，1，n)为节点的 n 次Lagrange 插值多项式 Ln(x)； 2)证明：6 求参数 a， b，c ，使得积分 01ex-(ax2+bx+c)2dx 取最小值7 给定求积公式 求参数，使上述求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出达到的最高代数精度是多少8 给定初值问题 记 h=(ba)n，x i=a+ih，i=0，1， ，n；y iy(xi
3、)，i=0 ，1，n设函数 (x，y，z ，h)是光滑函数，单步公式 yi+1=yi+h(xi，y i，y i+1，h) 是一个 2 阶公式，局部截断误差是Ri+1(1)试求公式 的局部截断误差和阶数9 设定解问题 有光滑解 u(x，t)，其中(0)=(0)将区间0，1作 m 等分，区间0，T作 n 等分，记h=1m ，=Tn，x i=ih，0im，t k=k，0kn 建立定解问题的差分格式1)给出上述差分格式的截断误差表达式 2)如果 (t)0，证明：当 s=h1 时，差分格式的解有下面的先验估计u ku0+ ,1kn,其中 证明：当s1 时差分格式的解在范数下是一阶收敛的2012 年攻读工
4、学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 根据题意，可知e(x) 10-4，e(y) 10-3，e(x) 10-2，e(xyz)yze(x)+xze(y)+xye(z)yze(x)+xze(y) +xye(z) 0 678010-2，e r(xyz)= 0 874710-3，因为 xyz=7751228，e(xyz) 10-12 【正确答案】 回代得 x1=-2，x 2=1，x 3=2，x 4=43 【正确答案】 方法 1：方程的 Newton 迭代格式为 xk+1=xk- 记f(x)=x3+2x-1，则 f(0).f(1)=-20；当 x0，1时，f(x)=3x
5、 2+20；当 x(0，1)时，f“(x)=6x0；0- 所以对任意初值 x00，1，Newton 迭代收敛于方程在0，1 中的根该迭代格式是 2 阶收敛的方法 2：记 (x)= 则当 x0，1时，有 所以对任意 x4 【正确答案】 1)Gauss-Seidel 迭代格式为2)设 G=-(L+D)-1U 是GaussSeidel 迭代格式的迭代矩阵， 是 G 的任意一个特征值，y 是对应的特征向量，则 Gy=y，即-(L+D) -1Uy=y，-Uy=(L+D)y，从而得-y HUy=yH(L+D)y，=记 d=yHDy，+i=y HLy，则由 A 的对称正定性可得 d0，y HUy5 【正确答
6、案】 1)L n(x)= 2)由插值余项表达式，对任意 x0，1，有 因此6 【正确答案】 记 0(x)=1,1(x)=x,2(x)=x2,则( 0,0)=011dx=1，( 0,1)=01xdx=*1434，( 0,2)=01x7 【正确答案】 当 f(x)=1，x，x 2，x 3 时，f“(a)-f“(b)=0，故由 Simpson 公式代数精度为 3 知求积公式精确成立当 f(x)=x4 时，有要使公式具有尽可能高的代数精度，则有 在上式中可令 a=0，b=1，得所以 当 f(x)=x5 时，有当 f(x)=x6 时，有取 a=0，b=1，则 所以代数精度是 58 【正确答案】 由条件知 R i+1(1)=y(xi+1)-y(xi)-h(xi，y(x i)，y(x i+1)，h)=O(h 3)， 预测-校正公式的局部截断误差为 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)-h(xi，y(x i)，y(x9 【正确答案】 1)考虑方程 由 Taylor 展开得将上述两项代入方程可得截断误差为 2)当 (t)0，对 i=1，2，m 和k=0，1 ， n-1 有 uik+1=(1-s)uik+sui-1k+f(xi，t k)，等式两边取绝对值，则当 s1 时有u ik+1(1-s
