1、2013 年研究生入学考试（数学二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 cosx-1=xsina(x),其中a(x)/2,则当 x0 时，a(x)是（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 x 等价的无穷小2 设函数 y=f(x)由方程 cos(xy)+lny-x=1 确定，则 =（A）2（B） 1（C） -1（D）-23 设函数 ，则（A）x= 是函数 F(x)的跳跃间断点（B） x= 是函数 F(x)的可去间断点（C） F(x)在 x= 处连续但不可导（D）F(x)在 x= 处可导4
2、 设函数 ，若反常积分 收敛，则（A）2（C） -20)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy=Vx，求 a 的值17 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+Y=8 围成，计算17 设奇函数 f(x)在-1 ，1上具有 2 阶导数，且 f(1)=1证明：18 存在 (0，1)，使得，f()=1；19 存在 (-1，1) ，使得 f“()+f()=120 求曲线 x3-xy+y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离20 设函数 f(x)=lnx+1/x21 求 f(x)的最小值；22 设数列x n满
3、足 lnxn+1/xn+122 设曲线 L 的方程为 y=1/4 x2-1/2 lnx(1xe)23 求 L 的弧长；24 设 D 是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x 轴所围平面图形求 D 的形心的横坐标25 设 当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=B，并求所有矩阵 C25 设二次型 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 ,记26 证明二次型，对应的矩阵为 2T +T ；27 若 , 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12 +y22 2013 年研究生入学考试（数学二）真题试卷答案与
4、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因此 a(x)与x 是同阶但不等价的无穷小。故选择（C）。2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义设函数y=f(x)由方程 cos(xy)+lny-x=1 确定，并满足 f(0)=1,将方程两边对 x 求导得-sin(xy).(y+xy_+1/y y-1=0 上式令 x=0,y=1 y(0)=1, 于是故选（A ）。3 【正确答案】 C【试题解析】 先求出 F(x)。4 【正确答案】 D【试题解析】 由于5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】
5、 B7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 AB=C，那么对矩阵 A，C 按列分块，有这说明矩阵 C 的列向量组 1， 2， n 可由矩阵 A 的列向量组 1， 2， ， n 线性表出又矩阵曰可逆，从而 A=CB-1，那么矩阵 A 的列向量组也可由矩阵 C 的列向量组线性表出由向量组等价的定义可知，应选(B)或者，可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，于是 A 经过有限次初等列变换化为 C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系故选(B)8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 e 1/2 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 /12【试题解析
6、】 12 【正确答案】 y+x- /4 -1/2 ln2=0【试题解析】 13 【正确答案】 e 3x-ex-xe2x14 【正确答案】 -1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 这些直线的交点除点(0，0)外还有(2，6)，(6，2)，平面区域 D 如图所示D 的边界是分段表示的，要用分块积分法将 D 分为 D=D1D2，其中18 【正确答案】 在0,1 上，由拉格朗日中值定理可知， (0,1)使得f()=f(1)-f(0)=f(1)=1.19 【正确答案】 20 【正确答案】 记曲线上点(x，y)到原点的距离的平方为
7、f(x，y)=x 2+y2，则问题转化为求 f(x，y)在条件 x3-xy+y3-1=0 下的最大值与最小值用拉格朗日乘子法令 F(x，y，)=x 2+y2+(x3-xy+y3-1)求驻点：解方程组 将y 2-x2 得 2xy(y-x)+(x-y)(x2+xy+y2)=0由此得 x=y，以 y=x 代入得 x 3-x2+3-1=0改写成 x2(x-1)+(x-1)(x2+x+1)=0，即(x-1)(2x 2+x+1)=0，解得 x=1，得唯一驻点(1，1)又曲线是含端点的曲线段，端点为(0，1)与(1，0) 现比较函数值 f(0，1)=1 ，f(1，0)=1，f(1，1)=2因实际问题存在最长
8、与最短距离，故最长距离为，最短距离为 121 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设 C= ，则由 AC-CA=B 得线性方程组：由于方程组（1）有解，故有 1+a=0,b-1-a=0a=-1,b=0,从而有：其中 k1,k2 为任意数，从而 C=26 【正确答案】 f=(2a 12+b12)x12+(2a22+b22)x22+(2a32+b32)x32+(4a12a22+2b12b22)x1x2+(4a1a3+2bb)x1x3+(4a2a3+2b2b3)x2x3 则 f 的矩阵为=2T +T ；27 【正确答案】 记 A=2T +T ,由于 , 正交，则有 T=T=0，又 , 为单位向量，则=1，于是 T=1，同理 T=1。 因为 r(A)=r(2T +T)r(2T)+r(T)23，所以，A=0，故 0 是 A 的特征值。 因为 A=(2T +T)=2，所以 2是 A 的特征值。 因为 A=(2T +T)=,所以 1 是 A 的特征值。 于是 A 的特征值为 2,1,0。 因此 f 在正交变换下可化为标准行 2y12+y22
