1、2018 年考研（数学三）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数中，在 x=0 处不可导的是( )（A）f(x)=|x|sin|x|（B）（C） f(x)=cos|x|（D）2 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 01f(x)dx=0，则( )（A）当 f(x)0 时，（B）当 f”(x)0 时，（C）当 f(x)0 时,（D）当 f”(x)0 时，3 设 则( )（A）MNK（B） MKN（C） KM N（D）KNM4 设某产品的成本函数 C(Q)可导，其中 Q 为产量，若产量为 Q0 时平均成本最小，则( )（A）C(Q 0)=0
2、（B） C(Q0)=C(Q0)（C） C(Q0)=Q0C(Q0)（D）Q 0C(Q0)=C(Q0)5 下列矩阵中，与矩阵 相似的为( )6 设 A，B 为 n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X 的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )（A）r(A，AB)=r(A)（B） r(A，BA)=r(A)（C） r(A，B)=maxr(A)，r(B)（D）r(A，B)=r(A T，B T)7 设 f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1x)， 02f(x)dx=06，则 PX0=( )（A）02（B） 03（C） 04（D）068 已知 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(， 2)(0)
3、的简单随机样本，则( )二、填空题9 曲线 y=x2+2lnx 在其拐点处的切线方程是_10 11 差分方程 2yx 一 yx=5 的解为_12 设函数 f(x)满足 f(x+x)一 f(x)=2xf(x)x+(x)(x0)，且 f(0)=2，则 f(1)=_13 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 为线性无关的向量组，若A1=1+2，A 2=2+3，A 3=1+3，则|A|=_14 随机事件 A，B，C 相互独立，且 p(A)=p(B)=P(C)= 则 p(AC|AB)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知实数 a，b 满足 求 a，b16 设平面区域 D 由
4、曲线 与直线 及 y 轴围成，计算二重积分17 将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值? 若存在，求出最小值18 已知 (一 1x1)，求 an19 设数列x n满足：x 1 0， (n=1，2，)证明：x n收敛，并求20 设实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中 a 是参数。 (I)求 f(x1，x 2， x3)=0 的解； ()求 f(x1，x 2，x 3)的规范形21 已知 a 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵(I)求 a；()求满足 AP=B 的可逆矩阵 P
5、22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 P(X=1)=P(X=一 1)= ，Y 服从参数为 的泊松分布令 Z=XY.(I)求 Cov(X，Z)；()求 Z 的概率分布23 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，+)为未知参数，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 的最大似然估计量为(I)求 ()求2018 年考研（数学三）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对 D 选项， 由于f+(0)f-(0)，因此 f(x)在 x=0 处不可导2 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A 选项：
6、 此时 f(x)=一 10，但对于 B、D 选项： ，由 01f(x)dx=0，可得当 f”(x)=2a0 时， =b0；当 f“(x)=2a0 时， 对于C 选项：取 f(x)= 此时 f(x)=10，但 故 D 选项正确3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 而 由定积分的性质，可知 即 KMN故 C选项正确4 【正确答案】 D【试题解析】 平均成本函数 其取最小值时，则导数为零，即从而 C(Q0)Q0C(Q0)=0，即 C(Q0)Q0=C(Q0)5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等) 若存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 AB
7、从而可知 E 一 AE 一 B，且r(EA)=r(E 一 B) 设题中所给矩阵为 A，各选项中的矩阵分别为B1，B 2，B 3，B 4经验证知 r(EB1)=2，r(EB 2)=r(E 一 B3)=r(EB4)=1 因此AB 1，即 A 相似于 A 选项下的矩阵6 【正确答案】 A【试题解析】 解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系r(AB)minr(A)，r(B)； r(A ，B)maxr(A) ，r(B)由 r(E，B)=n，可知 r(A，AB)=r(A(E ，B)minr(A)，r(E，B)=r(A)又 r(A，AB)maxr(A)，r(AB)，r(AB)r(A)，可知 r(A，AB)r
8、(A)从而可得 r(A，AB)=r(A)7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(1+x)=f(1 一 x)，可知 f(x)图像关于 x=1 对称 而 02f(x)dx=0.6，可得8 【正确答案】 B【试题解析】 解这道题，首先知道 t 分布的定义假设 X 服从标准正态分布N(0，1)，Y 服从 2(n)分布，则 的分布称为自由度为 n 的 t 分布，记为Zt(n)二、填空题9 【正确答案】 y=4x 一 3【试题解析】 首先求得函数 f(x)=x2+2lnx 的定义域为(0，+)求一阶、二阶导，可得 f(x)= 令 y”=0，得 x=1当 x1 时 f“(x)0；当 x1时 f”(x)0
9、因此(1，1)为曲线的拐点点 (1，1)处的切线斜率 k=f(1)=4因此切线方程为 y 一 1=4(x 一 1)，即 y=4x 一 310 【正确答案】 【试题解析】 本题考查分部积分法。11 【正确答案】 y x=C.2x 一 5【试题解析】 2yx=(yx)=yx+1 一y x=(yx+2 一 yx+1)一(y x+1 一 yx)=yx+22yx+1+yx，因此原差分方程可化简为 yx+2 一 2yx+1=5 齐次方程 yx+2 一 2yx+1=0 的通解为Yx=C.2x 设非齐次方程的特解为 yx*=A，代入非齐次方程中，可得 A=一 5 故非齐次方程，即原差分方程的通解为 yx=Yx
10、+yx*=C.2x 一 512 【正确答案】 2e 【试题解析】 由题意知 f(x)=2xf(x)，解该一阶齐次线性微分方程可得 f(x)=又 f(0)=2，得 C=2因此 f(x)= 从而 f(1)=2e13 【正确答案】 2【试题解析】 由题可得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) 由于 1， 2， 3 线性无关，则 P=(1， 2， 3)为可逆矩阵因此 因此 AB，则矩阵 A、B 的行列式值相等即14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 要使上式极限存在，则有 =a 一 1=0，求得 a=1=1+b=2，从而可得 b=1
11、综上所述：a=1，b=116 【正确答案】 17 【正确答案】 设铁丝分成的三段绳长分别为 x，y，z，则 x+y+z=2从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题从而得唯一驻点(一 2，一 8，)由问题的实际背景可知，在该驻点处，S 取得最小值因此18 【正确答案】 本题考查常见函数的泰勒展开公式19 【正确答案】 设 f(x)=ex 一 1 一 x(x0)，则有 f(x)=ex 一 10，因此 f(x)f(0)=0， 从而 可知 x20猜想 xn0，现用数学归纳法证明当 n=1 时， x10，成立；假设当 n=k(k=2，3，)时，有 xk0，则 n=k+1 时，有 从而得知无论 n
12、 取任何自然数，都有 xn0，即数列x n有下界 当x0 时，g(x)=e x 一 ex 一 xex=一 xex0因此 g(x)单调递减，g(x)g(0)=0 ，即有ex 一 1xe x，因此 xn+1 一 xn= ln1=0 ，可知数列x n单调递减由单调有界准则可知数列x n收敛设 ，则有 AeA=eA 一 1(A0)可知 A=0 是该方程的解因为当 x0 时，g(x)=e x 一 1 一 xexg(0)=0因此 A=0 是方程 AeA=eA一 1 唯一的解故20 【正确答案】 (I)由 f(x1，x 2，x 3)=0 得 当a2时，方程组有唯一解：x 1=x2=x3=0当 a=2 时，方
13、程组有无穷解：令 x1=1，可得解 kR ()当 a2时，做非退化的线性变换 此时 f(x1，x 2， x3)的规范形为 f=y12+y22+y32当 a=2 时，做非退化的线性变换则 f(x 1，x 2，x 3)=y12+y22+(y1+y2)2=2y12+2y22+2y1y2则 f(x1，x 2，x 3)的规范形为f=z12+z2221 【正确答案】 (I)由题意知，|A|=|B|，且 r(A)=r(B)由于因此可得 a=2()求满足 AP=B 的可逆矩阵 P，即求方程组 Ax=B 的解令 P=(1， 2， 3)，B=(1， 2， 3)，x=(x 1，x 2，x 3)，则可得方程组 Ax1
14、=1 的基础解系为(一 6，2，1)T，特解为(3 ，一 1，0) T； 得方程组 Ax2=2 的基础解系为(一 6，2，1) T，特解为(4，一 1，0) T； 得方程组 Ax3=3 的基础解系为(一 6，2，1) T，特解为(4，一 1，0)T从而可知三个非齐次方程组的通解为 1=x=k1(一 6，2，1) T+(3，一 1，0) T； 2=x2=k2(一 6，2，1) T+(4，一 1，0) T； 3=x3=k3(一 6，2，1) T+(4，一 1，0) T由 P 为可逆矩阵，即|P|0，可知 k2k3因此 k1，k 2，k 3 为任意常数，且 k2k322 【正确答案】 (I)由题意知，E(X)=0，D(X)=E(X 2)一E(X) 2=1，E(Y)= 因此 Cov(X，Z)=Cov(X ，XY)=E(X 2Y)一 E(X)E(XY) =E(X2)E(Y)一E(X) 2E(Y) =D(X)E(Y)= 可知 Z=XY 的所有可能取值为 k=0， 1，2 ，因此 P(Z=k)=P(XY=k)=P(XY=k|X=1)P(X=1) +P(XY=k|X=一 1)P(X=一 1) =P(Y=k，X=1)+P(Y=-k，X= 一 1) =当 k=0 时，P(Z=0)=P(Y=0)=e -23 【正确答案】 (I)设样本 X1，X 2，X n 所对应的样本值分别为x1，x 2，x n.
