1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）模拟试卷 2 及答案与解析选择题1 y=xx 的导数 y等于( ) （A）x x(1+lnx)（B） xxlnx（C） xx-1（D）x x(1 一 lnx)2 设函数 f(x)= 为了使 f(x)在 x=1 处可导，a ，b 取值为( ) （A）a=2 ，b=一 2（B） a=2，b=-1（C） a=1，b=一 2（D）a=1 ，b=23 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必为偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必
2、为周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必为单调增函数4 设 f(x)有二阶连续导数且 f(0)=0， 则( )成立（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极值， (0，f(0) 也是曲线 y=f(x)的拐点（C） (0，f(0)是曲线的拐点（D）f(0)是 f(x)的极小值5 设常数 k0，函数 f(x)= 在(0，+)内零点个数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）16 函数 y= (a0)，则 y 在区间( )7 对任意 x，恒有( ) （A）e -x1 一 x（B） e-x1+x（C） e-x1 一
3、 x（D）e -x1+x8 函数 的值域(1xe)为( )（A）1 ，e（B）（C）（D）9 当 0x1 时，f(x)=x +(1 一 x)一 (1)的值域为( )填空题10 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_11 设函数 则函数在点 x=0 处的导数为_12 已知 且 f(x0)=5，则 ff(x0)=_13 已知 f(x)=x2， =_14 若 f(t)= ，则 f(t)=_15 设 (y)是单调连续函数 (x)的反函数，且 (1)=2，(1)= 则 (2)=_16 设 f(x)=(x 一 a)2(x)，其中 (x)在 a 点邻域内有一阶连续导数，则 f“(a
4、)=_17 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，则 y“(0)=_.计算题18 设 ，求 dy19 讨论函数 f(x)= 在 x=0 点的可导性20 讨论 a，b 为何值时，才能使函数 f(x)= 在 x=0 处可导21 求下列函数的导数或微分： (4)求y=ln(1+3-x)的导数；22 求下列函数的导数：23 求下列函数的导数或微分：(1)已知 ，f(x)=ln(1+x 2)，求yx|x=0；(2)设 y=f(lnx)ef(x)，f(x)可微，求 dy；(3) 设 (x)，f(x)可微，求 dy24 求隐函数的导数： (1)由方程 ey+xy 一 e=0 确
5、定的 y 是 x 的函数，求 yx|x=0； (2)由方程 ex+y 一 ln(xy)=0 确定 y=y(x)，求 dy25 求下列函数的导数：26 (1) 求 y和 y“；(2)设方程 ，确定了 y=y(x)，求 y和 y(1)MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）模拟试卷 2 答案与解析选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y=xx 两边取对数，得 lny=xlnx两边关于 x 求导得y=xx(1+lnx)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由连续性得 即 1=a+b所以a=2，b=一 1【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)
6、的原函数可以写成 F(x)=0xf(t)dt+C 形式，则 F(一 x)=0-xf(t)dt+C0xf(一 u)d(一 u)+C当 f(x)是奇函数时，f(一 u)=一 f(u)，从而有 F( 一 x)=0xf(u)du+C=F(x) 当 f(x)是偶函数时，有 F(一 x)=一 0xf(u)du+C一 F(x) (除非C=0) 故(B)不成立 下面举例说明(C)，(D) 不成立，如果 f(x)是以 T 为周期的函数，设 (x)=0xf(t)dt，而 F(x)=(x)+C不是周期函数 又如 y=x 在(一，+)为单调增函数，而 F(x)= +C 在(一，+)上是非单调增函数【知识模块】 微积分
7、4 【正确答案】 D【试题解析】 由 及极限不等式性质，可知存在 0，当 0|x|时， ，即 f“(x)0则 f(x)在(一 ，)内单调递增，即 f(x)f(0)=0， x(0，) ； f(x) f(x)=0， x(一 ，0)因此 x=0 是 f(x)的极小值点，即 f(0)是f(x)的极小值【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=lnx 一 +k 可知，f(x)= 令 f(x)=0，得 x=e，且当x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x)0所以 x(0，e)时，f(x)单调增加，x(e，+)时，f(x)单调减少 又 f(e)=k0，同时则 f(x)
8、在(0，e)和(e，+)分别有唯一零点，故 f(x)在(0，+)内零点个数为 2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 的定义域为 ax 一 x20，即 或因为 a0，所以定义域为 0xa，(A)项的错误在于未考虑到 y 的定义域【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=e-x 一(1 一 x)，f(x)=一 e-x+1令 f(x)=0，x=0 ，而 f(0)=0当 x0 时，f(x) 0，f(x) 单调减当 x0 时，f(x)0，f(x)单调增因此，x=0 为极小值点，又因 f(0)=0，故当 x0时，f(x)0，即 e-x1一 x 成立另可设g(x)
9、=e-x 一(1+x)，用类似方法讨论，可推得其余各选项是不成立的另外，此题涉及三个函数，即 y1=e-x，y 2=1 一 x，y 3=1+x，如图 121，可以在同一直角坐标系内作此三个函数的图形，其不等式关系显而易见【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 令 yx=0，得 x=e，当 1xe 时，yx0 所以当 1xe时，y 单调增，y min=y(1)=1，y max=y(e)= 所以 y 的值域为【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=x -1一 (1一 x)-1=x-1一(1 一 x)-1令 f(x)=0，得 x-1=(1一 x)-1，解得 x=
10、 是唯一驻点 故在0，1区间上，有 0f(x)1一 ，所以 f(x)的值域为【知识模块】 微积分填空题10 【正确答案】 n!【试题解析】 根据 f(x)在点 x=0 处导数的定义【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)是分段函数，按定义分别求 f(x)在点 x=0 处的左、右导数因为以上左、右导数存在且相等，所以导数存在且 f(0)=1【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 3【试题解析】 令 ，则 y=fu(x)，由复合函数求导法则，【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 先利用
11、重要极限 求出 f(t)的表达式，然后求 f(t)f(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 根据反函数的求导法则，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2(a)【试题解析】 f(x)=2(x 一 a)(x)+(x一 a)2(x)，f(a)=0，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 一 2【试题解析】 方程两边关于 x 求导，得 e y.y+6y+6xy+2x=0，对上式关于 x 求导把 x=0，y=0 ，y(0)=0 代入，得 y“(0)=一 2【知识模块】 微积分计算题18 【正确答案】 利用微分形式不变性，令 u=ax+bx2
12、，则 y=eu，得再求 du，则【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由定义故 f(x)在 x=0 点可导，且f(0)=1【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于 要使 f(x)在 x=0 点连续，则需 b=0又要使 f(x)在 x=0 处可导，则需 a=2 此题如仅考虑 x=0 点可导，认为 a=2，b 任意，是错误的【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)y=2 xln2- (2)dy=ydx，dy| x=1=y(1)dx，(5)由对数性质，化简原式为【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 x0 时，y=ex，y=e x；当 x0 时， y=e-x，y=一 e-x；当 x=
13、0 时，因为 y-(0)y+(0)，所以在 x=0 点函数不可导，故【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (1)这是 x 的复合函数，令 yx=yu.ux=ln(1+u2)yx|x=0=3ln2(2)dy=y xdx，令u=lnx，所以有【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)方程两边对 x 求导，y 是 x 的函数， e yy x+y+xyx=0，把 x=0代入到方程 ey+xy 一 e=0 中，解得 y(0)=1，再将 x=0，y(0)=1 代入 eyy x+y+xyx=0得 e 1.y(0)+1=0， y(0)= (2)将方程两边对 x 求微分，得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)将等式 两边取对数，得 lny=e xlnx两边对 x 求导，这里 y 是 x 的函数，即 ，从而有 解得(2)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (2)方程两边取对数，然后两边对 x 求导【知识模块】 微积分
