1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 集合0 ，l ，2，3) 的子集的个数为( )。（A）14（B） 15（C） 16（D）182 3 如图 1 所示，大长方形被平行于边的直线分成了 9 个小长：方形，其中位于角卜的 3 个小长方形的面积已经标出，则角上第 4 个小长方形的面积等于( )。 （A）22（B） 20（C） 18（D）11.254 5 甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从 A 区到 B 区，甲需用 30 分钟，乙需用 40 分钟如果乙比甲早出发 5 分钟去 B
2、 区，则甲出发后经( )分钟可以追上乙（A）10（B） 15（C） 20（D）256 一个圆柱形状的量杯中放有一根长为 12 厘米的细搅棒(搅棒直径不计)，当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯口边缘 2 厘米，最多能露出 4 厘米，则这个量杯的容积为( ) 立方厘米。（A）72（B） 96（C） 288（D）3847 复数 z=i+i2+i3+i4+i5+i6+i7，则|z+i|=( )。（A）2（B）（C）（D） 18 如图 2 所示，BAF= FEB=EBC=ECD=90ABF=30，BFE=45 ，BCE=60且 AB=2CD，则 tanCDE=( ) 9 两个不等的实数 a 与
3、 b，均满足方程 x23x=1 ，则 的值等于( )。（A）18（B） 18（C） 36（D）3610 有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是 095和 092，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是( )（A）0920（B） 0935（C） 0.95（D）0.99611 当 x1 和 c2 时， 恒成立，则( )。（A）m= 2 ，n=3（B） m=3，n=2（C） m=2，n=3（D）m=3 ， n=212 48 支足球队，等分为 8 组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数是( ) 。（A）48（B） 120（C） 240（D）2
4、8813 在ABC 中， A：B：C=3：2：7，如果从 AB 上的一点 D 做射线，交AC 或 BC 边于点 E，使4DE=60，且分 ABC 所成两部分图形的面积相等，那么( )。（A）过 C 点(即 E 点与 C 重合)（B）不过 C 点而与 AC 相交（C）不过 C 点而与 BC 相交（D）不存在14 对任意两个实数 a、b，定义两种运算： （A）7 和 5（B） 5 和 5（C） 7 和 7（D）5 和 715 在圆 x2+y26x8y+21=0 所围区域(含边界)中， P(x，y)和 Q(x，y)是使得 分别取得最大值和最小值的点，线段 PQ 的长为( )。 16 若 则必定( )
5、。（A）f(1)=4（B） f(x)在 x=1 处无定义（C）在 x=1 的某邻域(x1)中，中 f(x)2（D）在 x=1 的某邻域(x1)中，f(x)417 18 设函数 f(x)可导，且 f(0)=1，f( lnx)=x ，则 f(1)=( )。（A）2e 1（B） 1e 1（C） 1+e1（D）e 119 图 3 中的三条曲线分别是： 的图形，按此排序，它们与图中所标示 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)的对应关系是( )。 （A）y 1(x)， y2(x)，y 3(x)（B） y1(x)，y 3(x)，y 2(x)（C） y3(x)，y 1(x)，y 2(x)（D）y 3(x)，
6、 y2(x)，y 1(x)20 若函数 在 x=0 点连续，则 a=( )。（A）9（B） 3（C） 0（D）121 22 行列式 展开式中的常数项为( )。（A）4（B） 2（C） 1（D）023 A*是 的伴随矩阵，若三阶矩阵 X 满足 A*X=A，则 X 的第 3 行的行向量是( ) 。 24 设 b=(11) T，则当 =( )时，方程组 AX=b 无解（A）2（B） 1（C） 1（D）225 1 与1 是矩阵 的特征值，则当 t=( )时，矩阵 A 可对角化。（A）1（B） 0（C） 1（D）2工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 101 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，
7、共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 若集合中有 n 个元素，则集合子集的个数为 2n所以集合0，1，2，3的子集的个数为 24=162 【正确答案】 B【试题解析】 将分子中相邻的两个数两两结合，结果是一个等差数列，利用求和公式得到分子，即 122 2+324 2+526 2+728 2+9210 2=37111519= 5(319)=55 分母是一个首项为 20=1，公比为 2 的等比数列，求和得题中原等式 故正确答案为 B3 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要查的是比例性质的应用由题意，有： 得 x=204 【正确答案】
8、 D【试题解析】 本题主要考查的是非负性相加知识的应用 5 【正确答案】 B【试题解析】 设甲出发后 x 分钟可以追上乙，由题意，知：v 乙 (x+5)=v 甲 x 因为 v乙 ：v 甲 =3：4，所以有 3(x+5)=4x，即 x=156 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知，倾斜放置和垂直放置的细搅棒所在平面正好将量杯分成相等的两部分，量杯的高 h=124=8 ，l=122=10 ，则量杯的底面圆直径即 r=3 量杯的容积为 V=r2h=328=727 【正确答案】 C【试题解析】 先将复数 x 进行化简，z=i+i 2+i3+i4+i5+i6+i7=i1i=-1 8 【正确答案】 A【
9、试题解析】 令 CD=1，则 AB=2 CD=2 9 【正确答案】 C【试题解析】 10 【正确答案】 D【试题解析】 解法一：设事件 A 为“1 个报警器发出的信号 ”，事件 B 为“另一个报警器发出的信号”，则 P(A)=095，P(B)=092事件 A、B 至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，此事件的概率为：11P(A)1P(B)=1 (1095)(1 092)=0996解法二：P(A)=0 95， P(B)=092P(A+B)=P(A)+P(B) P(A)P(B)=095+092095092=0 99611 【正确答案】 A【试题解析】 12 【正确答案】 B【试题解析】 48 支
10、足球队等分为 8 组，则每组 6 支球队。要求每组中的各队之间都要比赛一场，那么就是 6 支球队中任取 2 支的组合，共有 场比赛，即 15 场比赛。每组要比赛 15 场，共有 8 组，则初赛的场次共有 815=120 场13 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，取临界状态，正好经过点 C，即 CD=DB 在ABC 中，因为 A： B： C=3：2：7，所以 A=45，B=30，C=105 又因为ADE=60，所以ACD=75 A=45，所以 ADCD=DB 说明 D 不是 AB 的中点所以 D应向左平移，即 E 点落在 AC 上故选择 B 14 【正确答案】 D【试题解析】 观察两种运算
11、不难发现，ab 的结果是 a 与 b 中的较大者，a b的结果则取较小者，则算式(57) 5=5，(5 7)7=7故正确答案为 D.15 【正确答案】 C【试题解析】 圆的方程可化为：(x3) 2+(y4) 2=22， 即圆心为 O(3，4)，半径为2，整个圆处于第一象限直线)y=kx 与圆相切时， 取得最大值和最小值，如图所示，上下切点即为 P 和 Q连接 OP，OQ，PQ 和 OO 根据圆的切线的性质，OP=OP=2，OPO= OQO=90，则OPO OQO，OO平分POQ，OOPQ 且平分 PQ 于 M 故正确答案为 C.16 【正确答案】 C【试题解析】 根据极限的定义可知，某一点的极
12、限是否存在与该点有无函数无关，因此可排除 A、B 两项；f(x)=4 也满足题意，故可排除 D 对于 C 选项，因故有在 x=1 的某邻域(x1) 中，f(x)一 20 即 f(x)2故正确答案选 C17 【正确答案】 B【试题解析】 18 【正确答案】 A【试题解析】 设lnx=t ，则 x=et ，由 f(lnx)=x 得 f(x)=e-t， 又 f(0)=1，f(x)f(0)dt= 则 f(x)=2 e-x，f(1)=2e 1 19 【正确答案】 D【试题解析】 分别为函数 f(x)在区间x，x+1和区间x，x+3上的平均值因为 y1(x)、y 2(x)、y 3(x)在区间x，x+1和区
13、间x，x+3上均有负值，其平均值应比 f(x)的峰值小，因此 f(x)=y3(x)此时 明显小于0，而 y2(0)明显小于 0，可知20 【正确答案】 A【试题解析】 21 【正确答案】 D【试题解析】 22 【正确答案】 D【试题解析】 所以行列式展开式中没有常数项故选 D23 【正确答案】 C【试题解析】 24 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 无解，知 r(A)r(A：b) ，对增广矩阵进行变换， 25 【正确答案】 B【试题解析】 根据特征值的性质知，特征值之和等于矩阵 A 对角线元素之和，则得第三个特 征值为：(313)(11)=1，即 1 为二重特征值要使 A 对角化，则 1 必对应两个无关的特征向量，即秩 r(A+E)=1，对 A+E 进行等效变换： 即 t=0时，矩阵 A 可对角化
