1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若极限 A，则函数 f()在 a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)A（C）不一定可导，但 f-(a)A（D）可导，且 f(a)A2 设有多项式 P() 4 a 1a 0，又设 0 是它的最大实根，则P(0)满足（A）P( 0) 0（B） P(0)0（C） P(0)0（D）P( 0)03 设 f()3 2 2 ，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 f() 在 0 处可导，则 a，b 满足（A）a0
2、， b0（B） a1，b1（C） a 为 常数，b0（D）a 为 常数，b15 设 f(a)0，则 0，有（A）f()f(a)(a，a ) （B） f()f(a)(a ，a)（C） f()f(a)(a，a)，f()f(a)( (a，a)（D）f()f(a)( (a，a )，f()f(a)( (a，a)6 设 f() 则（A）f()在 0 处不连续（B） f(0)存在（C） f(0)不 ，曲线 yf()在点(0，0)处不 切线（D）f(0)不 ，曲线 y f()在点(0，0)处有切线7 设函数 yf() 可微，且曲线 yf() 在点( 0，f( 0)处的切线与直线 y2 垂直，则 （A）1（B）
3、 0（C） 1（D）不存在二、填空题8 设 f() ，则 f(1)_9 若函数 f()在 1 处的导数存在，则极限_10 设 f(0)1，f(0)0，则 _11 设 k 为常数，则 _12 设 y 且 f()arctan 2，则 _13 设 ysin 2，则 _14 设 f()有任意阶导数且 f()f 3()，则 f(n)()_ 15 设 yln(1 2)，则 y(5)(0)_16 设 _17 曲线(1) 3y 2 上点(5，8)处的切线方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 计算下列各题： () 设 ()设()设 y ，其中ab0，求 y19 计算下列各题： () 设
4、 其中 f(t)三阶可导，且 f(t)0，求 ； () 设 的值20 计算下列各题： () 由方程 yy 确定 (y)，求 ； ()方程 y ey1 确定yy()，求 y()； ()设 2tan( y) 0y sec2tdt，求 21 设函数 f()有反函数 g()，且 f(a)3，f(a)1，f(a)2，求 g(3)22 设 f()在( ，)内二次可导，令 F()求常数 A，B ，C 的值使函数 F()在( ，)内二次可导23 把 y 看作自变量， 为因变量，变换方程 24 设 f()连续且 2，() 01f(t)dt，求 ()并讨论 ()的连续性25 判断下列结论是否正确?为什么? ()若
5、函数 f()，g()均在 0 处可导，且 f(0)g( 0)，则 f(0)g( 0)； ()若 (0 ， 0)， 0 时 f()g()，则 f()与g()在 0 处有相同的可导性； ()若存在 0 的一个邻域( 0 ， 0)，使得(0， 0) 时 f()g()，则 f()与 g()在 0 处有相同的可导性若可导，则f(0)g( 0)26 说明下列事实的几何意义： ()函数 f()，g()在点 0 处可导，且 f(0)g( 0)，f( 0)g( 0)； ()函数)yf()在点 0 处连续，且有27 设 f()存在，求极限 ，其中 a，b 为非零常数28 设函数 f()在 0 处存在f +(0)与
6、 f(0)，但 f+(0)f-(0)，说明这一事实的几何意义29 设 f()在 a 可导，且 f(a)1，f(a)3，求数列极限 30 求下列函数的导数 y： ()yarctan ： ()y sin31 设 y(1 2)arctan，求 y32 设 yf() 可导，且 y0 ()若已知 yf()的反函数 (y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式； ()若又设 yf()二阶可导，则 33 设 a 为常数，求 34 ()设函数 yy()由方程 sin(2y 2)e y 2 0 所确定，求 ； ()设e+yy 确定 yy()，求 y，y； ()设函数 yf(，y)，其中 f 具有二阶导数，
7、且 f1，求 35 设 f() 求 f()在点 0 处的导数考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限存在并不能保证极限 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选 A【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 D【试题解析】 注意 P()在 ( ，)连续，又 P() 0 时 P()0因此选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 C【试题解析】 实质上就是讨论 g() 2 时，g (n)(0) 的最高阶数 n由于在
8、0 处不可导，因此 n2选 C【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 C【试题解析】 直接由定义出发 f(a) 0 由极限的保序性0，当 (a，a)，a 时 0 f()f(a) (a，a) ，f()f(a) ( (a ，a) 因此选 C【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f()0f(0) 又yf()的图形见图 21因此，f(0)不 ，yf() 在 (0，0) 切线 0选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算7 【正确答案】 B【知识模块】 一元
9、函数的导数与微分概念及其计算二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 f()是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 1 代入每个因式后，只有第一项tan 10，而其余所有项都不等于 0记 g() 则 g(1)(1 n)(2013)!，于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成 原式f(1)2f(1)6f(1)9f(1)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 k【
10、试题解析】 原式 k【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 【试题解析】 yf(u)，u ，u 0 1【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 【试题解析】 用微分之商来求【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 (2n1)!f 2n+1()【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数 y(5)()为奇函数 y(5)(0)0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 y3
11、 7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(1) 3y 2 两边对 求导，得 3(1)22yy 令 5，y8 即得)，y(5)3故曲线(1) 3y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y83(5) y37【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 () 两边取对数得 ylnlny，两边对 y 求导，并注意 (y)，得 上式两边乘 y，并移项得(y 2ylny) 2yln解出 ( )eyy ，两边取
12、对数得ylny对 求导(注意 yy() 得将 的方程两边对 求导得 解出 并代入 表达式得注意 ylny，于是 ()注意 yy() ，将方程两边对 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得 2 (1y)sec 2(y)( y) 得 see2(y)(1 y)1，即 1ycos 2(y) 再对 求导得y2cos(y)sin(y)(1 y) 代入式得：ysin2(y)cos 2(y)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 记 yf()应注意到，g() 为 f()的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g()改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f()g
13、(y)1，将该等式两边关于戈求导得 f()g(y)f()g(y)y 0， 或 f()g(y)f() 2g(y) 0 注意到 g(3) 1，在上式中令 a，应有 y3，因此得到 g(3)f(a)g(3)2【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 对任何常数 A，B，C，由 F()的定义及题设可知 F()分别在(， 0，( 0，)连续，分别在(， 0)，( 0，)二次可导从而，为使F()在(，)二次可导，首先要使 F()在 0 右连续，由于 F(00)F( 0)f( 0)，F( 00)C，故 F()在(，) 连续得 Cf( 0) 在 Cf( 0)的情况下，F()可改写成故
14、F()在(，)可导 Bf( 0) 在 Cf( 0)，Bf( 0)的情况下，F()可改写成故 F()在(，)内二次可导 2Af( 0) f( 0) 综合得，当A f(0)， Bf( 0)，Cf( 0)时 F()在(，)上二次可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 把方程中的 来表示 由反函数求导法得 再由复合函数求导法及反函数求导法得：将它们代入原方程得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 ()的表达式中，积分号内含参变量 ，通过变量替换转化成变限积分 0 时，() 0f(s)ds； 0 时，(0) 01f(0)dtf(0) 由 f()在
15、 0 连续及 2，则 f(0)200 因此 () 求 ()即求这个分段函数的导数，0 时与变限积分求导有关，0 时可按定义求导 最后考察 ()的连续性显然，0 时 ()连续，又即 ()在0 也连续，因此 ()处处连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 () 不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(0)g( 0)不能保证 f(0)=g(0)正如曲线 y()与 yg()可在某处相交但并不相切 ()不正确例如 f() 2，g()显然，当 0 时 f()g()，但 f()在 0 处可导，而 g()在 0处不可导(因为 g()在 0
16、 不连续) ()正确由假设可得当 (0 ， 0)，0 时 故当 0 时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义即可得出结论【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 () 曲线 yf()，yg()在公共点 M0(0，f( 0)即( 0，g( 0)处相切 ( )点 0 是 f()的不可导点曲线 yf()在点 M0(0，f( 0)处有垂直于 轴的切线 0(见图 21)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 0 是 f()的不可导点曲线
17、在点 M0(0，f( 0)处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 yf()的尖点 )，见图 22【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 这是指数型列极限，先转化成， 其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此 e 6【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 ()()当 0 时，由求导法则得 f() ；当 0 时，由导数定义得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 将函数化为 y ，然后对 求导即得 y(1 2)arctanarctanln(1 2)【知识模块
18、】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 () 设 yf()的反函数是 (y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由 yf(y)，两边对 y 求导得()【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 继续对 求导，并注意 t 是 的函数，得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 () 将原方程两边直接对 求导数，并注意 y 是 z 的函数，然后解出 y即可由 (22y y)cos(2y 2)e y 22y.y0 得 y()注意 y 是 的函数，将方程两端对 求导得 e+y(1 y) y，即 y (这里用方程 e+yy 化简) 再将
19、 y的表达式对 求导得 y 或将 满足的方程 两边对 求导得 ，再代入的表达式，同样可求得 ()yy()由方程 f(y)y0 确定，f 为抽象函数，若把 f(y)看成 f(u)，而 uy，yy()，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f()，及其导函数 f(y)均是 的复合函数 将yf(y) 两边对 求导，并注意 y 是 的函数，f 是关于 的复合函数，有 yf.(1y)，即 y (其中 ff( y) 又由 y(1y)，f再对 求导，并注意 y是 的函数，f即 f(y)仍然是关于 的复合函数，有 y(1y)f(1y)(f) yf(1y)f.(1y)yf(1y) 2f， 将 y 代入并解出 y即得 y (其中 ff(y)，ff(y) 或直接由 y 再对 求导，同样可求得 y 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算35 【正确答案】 其中用到了等价无穷小因子替换： (1)1(0)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
