1、考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=0，则 f(x0)=0 是f(x)在 x0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要2 函数 f(x)=(x2x2)x 3x的不可导点有（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D）0 个3 设有多项式 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（
2、D）P(x 0)04 设 f(x)= 在 x=0 处可导，则 a，b 满足（A）a=0 ，b=0（B） a=1，b=1（C） a 为 常数，b=0（D）a 为 常数， b=15 设 f(x)= 则（A）f(x)在 x=0 处不连续（B） f(0)存在（C） f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0，0) 处不 切线（D）f(0)不 ，曲线 y=f(x)在点(0 ，0)处有切线二、填空题6 对数螺线 r=e在点(r ，)= 处的切线的直角坐标方程为_7 设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M 到端点 A 的距离 x 的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量
3、表达式 m(x)=_，杆在任一点 M 处的线密度 (x)=_8 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限=_9 设 k 为常数，则 =_10 设 y=sinx2，则 =_11 设 y=ln(1+x2)，则 y(5)(0)=_12 曲线(x 1) 3=y2 上点(5 ，8)处的切线方程是_13 曲线 上对应点 t=2 处的切线方程为_14 =1 在点 M0(2a， )处的法线方程为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)； ()若 x
4、(x0，x 0+，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x0 处有相同的可导性； () 若存在 x0 的一个邻域(x 0，x 0+)，使得x(x0，x 0+)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x0 处有相同的可导性若可导，则f(x0)=g(x0)16 设函数 f(x)在 x=x0 处存在 f+(x0)与 f (x0)，但 f+(x0)f (x0)，说明这一事实的几何意义17 设 f(x)存在，求极限 ，其中 a，b 为非零常数18 求下列函数的导数 y：19 设 y=(1+x2)arctanx，求 y20 设 a 为常数，求21 设 f(x)= 求
5、 f(x)在点 x=0 处的导数22 设 f(x)= 求 f(x)23 求下列 y(n)：24 设 y=x2e2x，求 y(n)25 求下列函数的导数与微分：()设 y= ，求 dy；()设 y=(x1)，求 y与 y(1)26 设27 设 f(x)= ()求 f(x)；()f(x)在点 x=0 处是否可导?28 已知 y= 其中 t=t(x)由 确定，求29 设 y=ln(3+7x6x 2)，求 y(n)30 设 f(x)在( ，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f“(0)存在若求 F(x)，并证明 F(x)在(，+)连续31 计算下列各题：32 计算下列各题：() 由方程 xy=yx
6、确定 x=x(y)，求 ()方程 yx ey=1 确定y=y(x)，求 y“(x)；() 设 2xtan(x y)= 0xy sec2tdt，求33 设 f(x)在( ，+)内二次可导，令 F(x=求常数 A， B，C 的值使函数 F(x)在(， +)内二次可导34 设 f(x)连续且 =2，(x)= 01f(xt)dt，求 (x)并讨论 (x)的连续性考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 按定义f(x)在 x0 可导 存在，即均存在且相等因此应选 B【知识模块】 一
7、元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 B【试题解析】 函数x，x1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x= 1 不可导且它们处处连续因此只需在这些点考察 f(x)是否可导。按定义考察在 x=0 处，于是故 f+(0)f (0)因此 f(x)在x=0 不可导 故 f+(1)f (1)因此 f(x)在 x=1 不可导因此 f(x)在 x=1 可导应选 B【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 D【试题解析】 注意 P(x)在 ( ，+)连续，又 =+=xx 0 时 P(x)0=选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 A【试题解析】 首先
8、，f(x)在 x=0 连续 =f(0)，即 b=0然后，f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f (0)当 b=0 时，f(x)= 按定义求出 f (0)=0由求导法则知 f (0)=(ax) x=0=a由 f +(0)=f (0)得 a=0因此选 A【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 CD【试题解析】 显然 =0=f(0)又 y=f(x)的图形见图 21 因此，f(0)不 ，y=f(x) 在(0，0) 切线x=0选 D【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题6 【正确答案】 y= x【试题解析】 对数螺线的参数方程为 于是它在点 处切线的斜率为 当
9、 = 时 x=0，y= 因此该切线方程为 y= x【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算7 【正确答案】 、5x【试题解析】 按题意，m(x)=kx 2，令 x=12，得 360=k.122，则 k= ，从而 m(x)=在任一点 M 处的线密度为 (x)= =5x【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算8 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 k【试题解析】 原式=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 【试题解析】 设 u=x3，则 ，于是由复合函数求导法则即得【知
10、识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数=y (5)(x)为奇函数=y (5)(0)=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 y=3x7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x1) 3=y2 两边对 x 求导，得 3(x1)2=2yy 令 x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x1) 3=y2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x5)y=3x7【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 y=3x7【试题解析】 t=2 时(x，y)=(5，8)， 切线方程为y8=3(x5)，即 y=3
11、x7【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 【试题解析】 将方程对 x 求导= 在 M0 处 y= ，法线方程为【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x0)=g(x0)不能保证 f(x0)=g(x0)正如曲线 y=f(x)与 y=g(x)可在某处相交但并不相切()不正确例如 f(x)=x2，g(x)=显然，当 x0时 f(x)=g(x)，但 f(x)在 x=0 处可导，而 g(x)在 x=0 处不可导(因
12、为 g(x)在 x=0 不连续)()正确由假设可得当 x(x0，x 0+)，xx 0 时故当 xx 0 时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义即可得出结论【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M0(x0，f(x 0)处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 ()y= ()当 x0时，由求导法
13、则得 f(x)= ；当 x=0 时，由导数定义得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 将函数化为 y= ，然后对 x 求导即得 y=(1+x2)arctanxarctanxln(1+xarctanx)=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 继续对 x 求导，并注意 t 是 x 的函数，得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 其中用到了等价无穷小因子替换：【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 当 x0时，由求导法则得 f(x)= 当 x=0 时，可用以下两种方法求得 f(0)方法 1：
14、按定义求：f(0)= =0方法 2：显然 =0=f(0)，f(x)在点 x=0 处连续，又【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 () 当 n 为奇数时，x n+1 可被 x+1 整除，x n+1=(x+1)(xn1 xn2 +x+1)=当 n 为偶数时，x n 除x+1 得 xn=(x+1)(xn1 x n2 +x+1)+1=()由于 y=，于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 用莱布尼兹法则并注意(x 2)(k)=0(k=3，4，) ，(e 2x)(k)=2ke2x，得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】
15、 () ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得若只求 y(1)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 () 这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f (0)=2；当 x0 时，且又=0=f(0)，即 f(x)在 x=0 右连续=f +(0)=2于是 f(0)=2因此 ()f(x)也是分段函数，x=0是分界点为讨论 f(x)在
16、x=0 处的可导性，要分别求 f“+(0)与 f“ (0)同前可得按定义求 f“+(0)，则有因 f“+(0)f“ (0)，所以f“(0)不存在，即 f(x)在点 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 由式得 由 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 先分解 y=ln(3 2x)(1+3x)=ln(32x)+ln(1+3x)= y (n)=ln(32x) (n)+ln(1+3x)(n)然后利用ln(ax+b) (n)的公式得【试题解析】 利用对数函数性质将函数 y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(a
17、x+b) (n)的公式即可得结果【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 首先求 F(x)当 x0时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算然后讨论 F(x)的连续性，当 x0时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证明 =F(0)，这是 型极限问题，可用洛必达法则即 F(x)在 x=0 也连续因此， F(x)在(，+)连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 () 两边取对数得 ylnx=xlny，两边对 y 求导，并注意 x=x(y)，得上
18、式两边乘 xy，并移项得()e y=yx，两边取对数得y=xlny对 x 求导(注意 y=y(x)=将 两边对 x 求导得 解出 表达式得()注意 y=y(x)，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得2 (1y)=sec 2(xy)(1 y)= sec 2(x y)(1y)=1 ，即1y=cos 2(xy) 再对 x 求导= y“=2cos(x y)sin(xy)(1y) 代入式=y“=sin2(x y)cos 2(xy)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 对任何常数 A，B，C，由 F(x)的定义及题设可知 F(x)分别在(， x0，(x 0
19、，+)连续，分别在( ，x 0)，(x 0，+)二次可导从而，为使 F(x)在( ，+)二次可导，首先要使 F(x)在 x=x0 右连续，由于 F(x00)=F(x 0)=f(x0)，F(x0+0)=C，故 F(x)在( ，+) 连续 C=f(x0) 在 C=f(x0)的情况下，F(x) 可改写成故 F(x)在( ，+)可导 B=f(x 0) 在 C=f(x0)，B=f(x 0)的情况下，F(x)可改写成故 F(x) 在(， +)内二次可导 2A=f“(x 0) A= f“(x0)综合得，当 A= f“(x0)，B=f(x 0)，C=f(x0)时 F(x)在( ，+)上二次可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 (x)的表达式中，积分号内含参变量 x，通过变量替换转化成变限积分由 f(x)在 x=0 连续及 因此 求 (x)即求这个分段函数的导数， x0时与变限积分求导有关，x=0 时可按定义求导最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又即 (x)在 x=0 也连续，因此 (x)处处连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
