1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式2 求 带皮亚诺余项的麦克劳林公式3 求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式4 求极限 =5 确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x(a+ )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量6 设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 =e4，求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)7 设 0x ，证明8 设 f(x)在0，1二阶可导， f(0)a，f(1) a，f“(x)b，a ，b 为非负数，求证： c(0
2、，1) ，有f(c)2a+9 设 f(x)在a ，b三次可微，证明： (a，b)，使得10 在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3)； ()f(x)=sin(sinx)(x3)11 求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= ； ()f(x)=e xsinx12 用泰勒公式求下列极限：13 用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数：()； () 0x(et1t) 2dt14 设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+) 时 f(x)M 0，f“(x) M 3，其中 M0，M 3 为非负
3、常数，求证 f“(x)在(0，+) 上有界15 设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使f“()416 设 f(x)在(x 0，x 0+)有 n 阶连续导数，且 f(k)(x0)=0，k=2 ，3，n1；f (n)(x0)0当 0h 时，f(x 0+h)f(x 0)=hf(x0+h)，(01)求证：17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=excosx(x3)； ()f(x)= (x3) ( )f(x)= ，其中 a0 (x 2)18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： ()f(x)
4、=sin 3x； ( )f(x)=xln(1x 2)19 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：()f(x)=e x1x xsinx； ()f(x)=(1+ )cosx120 求下列极限：21 确定常数 a 和 b 的值，使得 =622 设 f(x)=x2sinx，求 f(n)(0)23 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= =1，求 f(0)，f(0)，f“(0)24 设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当 xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小25 设 f(x)在 x=a 处四阶可导
5、，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f(4)(a)0，求证：当 f(4)(a)0( 0)时 x=a 是 f(x)的极小(大) 值点26 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线 y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0)2)(xx 0)27 求 f(x)=3x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式28 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，证明： (a，b)使得29 设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)
6、为 n 次多项式的充要条件是 f(n+1)(x)0，f (n)(x)030 设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f“(x) 在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界31 设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f“(x)0(x(a，b)，求证：考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷 2 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 因为，从而【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用2 【正确答案】 把 t=x 2 代入 et=1+t+ +o(t“) (t0)即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用3 【正确答案】 由于(ar
7、ctanx)= =1x 2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用4 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用5 【正确答案】 利用 ，可得不难看出当1ab=0 与 b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数，并且得到 f(x)= +o(x5)，f(x) 是 x 的 5 阶无穷小(x0)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用6 【正确答案】 1)先转化已知条件由 =e4 知再用当 x0 时的等价无穷小因子替换 ln1+f(x)f(x)，可得 =42)用 o(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =
8、4+o(1)，并利用 xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n1) (0)=0，=4，故 f(n)(0)=4n！【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用7 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用8 【正确答案】 考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： x0，1， c(0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ f“()(xc) 2， (*)其中 =c+(xc)，01 在(*)式中，令 x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(c)+ f“(1)c2，0 1c 1； 在
9、(*) 式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ f(2)(1c) 2，0c 21上面两式相减得 f(1)f(0)=f(c)+f“(2)(1c) 2f“( 1)c2 从而 f(c)=f(1)f(0)+ f“(1)c2f“( 2)(1c) 2，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何 c(0，1)有(1c) 21c ，c 2c，于是(1c) 2+c21【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用9 【正确答案】 将 f(x)在 x0= 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得其中 1， 2(a，b)上面两式相减得注意： f“(1)+f“(2)介于 f“(1)与 f“(2)之
10、间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b)，使得 f“()=因此得证【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用10 【正确答案】 () f(0)=0， f“(0)=0，f“(x)= ，f“(0)=2，= f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x3)，即 tanx=x+ x3+o(x3)()已知sinu=u +o(u3)(u0) ，令 u=sinx = sin(sinx)=sinx sin3x+o(sin3x)再将sinx=x x3+o(x3)，代入得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用11 【正确答案】 () 由 ，可得对 m=1，2，3，有()用归纳法求出 f(n)(x)的统一公式【知识
11、模块】 一元函数的泰勒公式及其应用12 【正确答案】 () 用 et，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0 展开由于再求分子的泰勒公式由 x 2e2x=x21+(2x)+o(x)=x2+2x3+o(x3)，ln(1x 2)=x 2+o(x3)，= x 2e2x+ln(1x 2)=2x3+o(x3)因此 ()由 ln(1+x)=x x2+o(x2)(x0)，令 x= ，即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用13 【正确答案】 ()因此当 x0 时是 x 的二阶无穷小量()因 et1t= t2+o(t2)，从而(e t1t)2= ，代入得 0x(et
12、1t) 2dt= x5+o(x5)，因此 x0 时0x(et1t) 2dt 是 x 的五阶无穷小量【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用14 【正确答案】 分别讨论 x1 与 0x1 两种情形1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f(x)+ (xx+1)，f(x1)=f(x) f(x)+(x1x)，两式相加并移项即得 f“(x)=f(x+1)+f(x1)2f(x)+ f“()f“()，则当 x1 时有f“(x)4M 0+ M32)当 0x1 时对 f“(x)用拉格朗日中值定理，有 f“(x)=f“(x)f“(1)+f“(1)=f“(x)(x1)+f“(1) ，其中(x，
13、1)= f“(x) f“() x1 + f“(1)M 3+f“(1)(x (0，1)综合即知 f“(x)在(0，+)上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用15 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(1)x2 (0 1x)， f(x)=f(1)+f(1)(x1)+ f“(2)(x1)2(x 21) 在公式中取 x= 并利用题设可得两式相减消去未知的函数值 即得 f“(1)f“( 2)=8 =f“( 1)+f“( 2)8 故在 1 与 2 中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于 4，
14、把该点取为 ，就有 (0，1)使f“()4【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用16 【正确答案】 这里 m=1，求的是 f(x0+h)f(x 0)=hf(x0+h)(01)当 h0 时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(x0+h)在 x=x0 展开成带皮亚诺余项的n1 阶泰勒公式得代入原式得 f(x0+h)f(x 0)=hf(x0)+ f(n)(x0)n1 hn+o(hn) 再将 f(x0+h)在 x=x0 展开成带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式 f(x 0+h)f(x 0)=f(x0)h+ (x0)hn+o(hn) =f(x0)h+(x0)hn+o(hn)(h0) ， 将代入后两边除
15、以 hn 得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用17 【正确答案】 ()e x=1+x+ +o(x3)，cosx=1 +o(x3)，相乘得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用19 【正确答案】 () 用泰勒公式确定无穷小的阶原式=所以 x0 时ex1x 是 x 的 3 阶无穷小() 用泰勒公式确定无穷小的阶原式=所以 x0时 cosx+ 1 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用20 【正确答案】 ()(用泰勒公式) 由于当 x0 时分母是 x3 阶的无穷小量，而当x0 时 因此当 x0 时， e x
16、sinx=注意到当 x0 时()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数因此当 x0 时()因为当 x0 时 ，从而把麦克劳林公式 代入即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用21 【正确答案】 (用泰勒公式)因为 ln(12x+3x 2)=2x+3x 2 (2x+3x 2)2+o( 2x+3x2)2) =2x+3x 22x 2+o(x2)=2x+x 2+o(x2)，于是=6 可以改写为 由此即得 a2=0，b+1=6，故 a=2，b=5 即 b=63+a=5 因此 a=2，b=5【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用22 【正确答案】 f(x)=，=f (2n+1)(0
17、)=(1) n(2n+1)2n，n=1，2，f (2n)(0)=0，n=1，2， ，f (1)(0)=0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用23 【正确答案】 由题设易知， ，0x 时 f(x)0进一步有 =f(0)=0由 ef(x)1f(x) ，cosx 1 (x0)，用等价无穷小因子替换，原条件改写成 由极限与无穷小关系得，x0 时=1+o(1)， (o(1)为无穷小)，即 由泰勒公式唯一性得 f(0)=0，f(0)=0 ，f“(0)= =1【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用24 【正确答案】 f(x)在 x=a 可展开成由 xa 时 f(x)是(xa)的 n 阶无穷小 =f(a
18、)=f(a)=f (n1) (a)=0，f (n)(a)0又 f(x)在 x=a 邻域(n1)阶可导，f (n1)(x)在 x=a 可导由 g(x)=f(x)在 x=a 处 n1 阶可导 =g(x)=g(a)+g(a)(xa)+g(n1) (a)(xa) n1 +o(xa) n1 )，因此 f(x)是 xa 的 n1 阶无穷小(xa)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用25 【正确答案】 其中o(1)为无穷小量 (xa 时) ，因此， 0，当 0xa 时因此 f(4)(a)0(0)时f(a)为极小( 大)值【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用26 【正确答案】 相交与相切即 f(x)=
19、g(x0)，f(x 0)=g(x0)若又有曲率相同，即由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f“(x0)=g“(x0)=0 或 f“(x0)与 g“(x0)同号，于是 f“(x0)=g“(x0)因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)，y=g(x)在(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率 f(x 0)g(x 0)=0，f(x 0)g(x 0)=0，f“(x 0)g“(x 0)=0 f(x)g(x)=f(x 0)g(x 0)+=o(xx 0)2) (xx 0)即当 xx 0 时 f(x)g(x)是比(xx 0)2 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用27 【正确答案】 由于
20、f(m)(x)=3x(ln3)m，f (m)(0)=(ln3)m，则【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用28 【正确答案】 在 x= 处展开成分别令 x=a，b = 两式相加 =由导函数的中间值定理 = 在 1， 2 之间(a，b)，使得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用29 【正确答案】 由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+若 f(n+1)(x)0，f (n)(x)0，由上式 =f(x)=f(0)+f(0)x+ f(n)(0)xn 是 n 次多项式反之，若 f(x)=anxn+an1 xn1 +a1x+a0 (an0)是 n次多项式，显然 f(n)
21、(x)=ann！0，f (n+1)(x)0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用30 【正确答案】 按条件，联系 f(x)，f“(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 x0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f“()h2，其中 (x，x+h) 特别是，取h=1，(x ，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f“()，即 f(x)=f(x+1)f(x) f“() 由题设，f(x)M 0，f“(x)M 2( x(0，+)，M 0，M 2 为常数，于是有即 f(x)在(0，+) 上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用31 【正确答案】 联系 f(x)与 f“(x)的是泰勒公式两边在a， b上积分得 abf(x0)dx abf(x)dx+abf(x)(x0x)dx= abf(x)dx+ab(x0x)df(x) = abf(x)dx(b x 0)f(b)(x 0a)f(a)+ abf(x)dx 2abf(x)dx因此 f(x0)(ba) 2 abf(x)dx，即【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用
