1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (12 年 )设 Ik=0k sinxdx(k=12，3) ，则有（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 (13 年 )设函数 f(x)= F(x)=0xf(t)dt，则（A）x= 是函数 F(x)的跳跃间断点（B） x= 是函数 F(x)的可去间断点（C） F(x)在 x= 处连续但不可导（D）F(x)在 x= 处可导3 (13 年 )设函数 f(x)= 若反常积分 1+f(x)dx 收敛，则（A）一 2
2、（B） 2（C） -20（D）024 (15 年 )下列反常积分中收敛的是5 (16 年 )已知函数 f(x)= ，则 f(x)的一个原函数是6 (16 年 )反常积分 的敛散性为（A）收敛， 收敛（B） 收敛，发散（C） 发散，收敛（D）发散， 发散7 (17 年 )设二阶可导函数 f(x)满足 f(1)=f(一 1)=1，f(0)= 一 1，且 f“(x)0，则（A） -11f(x)dx0（B） -11f(x)dx0（C） -10(f(x)dx 01f(x)dx（D） -10f(x)dx 01f(x)dx8 (17 年 )甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处图中，实线
3、表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位：m，s)，虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3计时开始后追上甲的时刻记为 t0(单位：s) ，则（A）t 0=10（B） 15t 020（C） t0=25（D）t 0259 (18 年 )设函数 f(x)在0 ，1上二阶可导，且 01f(x)dx=0，则（A）当 f(x)0 时，（B）当 f“(x)0 时，（C）当 f(x)0 时，（D）当 f“(x)0 时，10 (18 年) 设 则（A）MNK （B） MKN（C） KM N （D）KNM二、填空题11 (12 年)12 (13 年) 设函数 f(x)=
4、则 y=f(x)的反函数 x=f-1(y)在 y=0 处的导数13 (13 年) 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 则 L 所围平面图形的面积是_14 (14 年)15 (14 年) 一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间0,1 上，若其线密度 (x)=-x2+2x+1则该细棒的质心坐标 =_16 (15 年) 设函数 f(x)连续 (x)= 。若 (1)=1(1)=5，则 f(1)=_17 (16 年) 极限18 (17 年)19 (18 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (12 年) 过点 (0，1)作曲线 L：y=lnx 的切线，切点为 A，又 L
5、与 x 轴交于 B点区域 D 由 L 与直线 AB 围成求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积21 (13 年) 设 D 是由曲线 直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy=10V求 a 的值22 (13 年) 设曲线 L 的方程为 (1xe)(I)求 L 的弧长；() 设 D是由曲线 L，直线 x=1， x=e 及 x 轴所围平面图形求 D 的形心的横坐标23 (14 年) 设函数 f(x)，g(x)在区间a,b 上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1 ，证明：(I)0axg(t)d
6、t(x-a),xa,b() abf(x)g(x)dx24 (14 年) 已知函数 f(x，y)满足 =2(y+1),且 f(y，y)=(y+1) 2-(2-y)lny求曲线f(x，y)=0 所围图形绕直线 y=一 1 旋转所成旋转体的体积25 (15 年) 设 A0，D 是由曲线段 y=Asinx(0x )及直线 y=0, 所围成的平面区域，V 1,V2 分别表示 D 绕 x 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积若 V1=V2，求A 的值26 (16 年) 设函数 f(x)=01|t2x2|dt(x0) ，求 f(x)，并求 f(x)的最小值27 (16 年) 设 D 是由曲线 围成的平面区域，
7、求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积28 (16 年) 已知函数 f(x)在 的一个原函数，且 f(0)=0(I)求 f(x)在区间 上的平均值；()证明 f(x)在区间 内存在唯一零点29 (17 年)30 (17 年)31 (18 年) 求不定积分考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 则 F(x)在x= 处连续 故 F(x)在x= 处不可导，应选(C) 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析
8、】 由题设知 收敛，则 一 11，即 2又 收敛，则+11，即 0 故 02【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 则该反常积分收敛，故应选(D) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 则 C1=一1+C2令 C1=C，则 C2=1+C 故应选 D【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 =一(01)=1 则该反常积分收敛则该反常积分发敞故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知曲线 y=f(x)过点 A(一 1，1)，B(0一 1)和 C(1，1)且是凹的(如右图 )连结 AB 和 BC
9、，得两条线段 设这两条线段对应的函数为y=g(x)由于 y=f(x)在一 1，1是凹的，则 f(x)g(x) x 一 1，1则 -11f(x)dx -10g(x)dx (f(x)与 g(x)只有三点值相等) 由定积分几何意义知 -10g(x)dx=0 01g(x)dx=0。则 -11g(x)dx=0故应选 (B)【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，从一开始 t=0 到 t=t0 时刻甲、乙的位移分别为其中 S1 在几何上表示曲线 v=v1(t)，t=t 0，及两坐标轴围成的面积，S 2 在几何上表示曲线 v=v2(t)，t=t 0 及两个坐标轴围成的面积若
10、t0 为计时开始后甲追上乙的时刻则 S1=S2+10由题中图形可知t0=25，故应选(C) 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 利用结论：若在a，b上 f“(x)0，则由此可知，在0，1上，若 f“(x)0，则 即 01f(x)dx=0，故应选 D【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 =+0=由不等式 ex 1+x(x0)可知 则 KM N，故应选 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 n 项和的极限，提出一个 的因子知，原式为一个积分和式【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析
11、】 由 f(x)= 知，当 f(x)=0 时， x=一 1，又【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由线 L： 所围图形面积为【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 质心的横坐标为【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 2【试题解析】 (x)= 由 (1)=1 知 01f(t)dt=1，又由 (1)=5 知 5= 01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1)则 f(1)=2【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 sin1 一 cos1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积
12、分学18 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设切点 A 的坐标为(x 1，y 1)，则切线方程为 y 一 y1= (xx1)将点(0，1)代入，得 x1=e2，y 1=2 所求面积为 =2e2 一e2+1e2+1 =2所求体积为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 所以 D 的形心的横坐标为【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (I)由 0g(x)1 得 0 0ag(t)d
13、t0x1dt=(x 一 a) xa，b()令 F(u)=auf(x)g(x)dx 一 只要证明 F(b)0，显然 F(a)=0只要证明 F(u)单调增又 F(u)=f(u)g(u)一 f(a+aug(t)dt)g(u) =g(u)f(u)-f(a+aug(t)dt) 由(I)的结论0axg(t)dt(x 一 a)知aa+ axg(t)dtx,即 aa+ aug(t)dtu 又 f(x)单调增加，则 f(u)f(a+aug(t)dt)因此，F(u)0，F(b)0故 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由 =2(y+1)可知，f(x，y)=2(y+1)dy=(y+1) 2+(x)又 f
14、(y，y)=(y+1)2 一(2 一 y)lny，则 (y+1) 2 一(2 一 y)lny=(y+1)2+(y)则 (y)=一(2 一 y)lny，曲线 f(x，y)=0 的方程为 (y+1) 2=(2x)lnx (1x2) 其所围图形绕直线 y=一 1 旋转所成旋转体的体积 V=12(y+1)2dx=12(2 一 x)lnxdx=【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由V1=V2 知【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 当 0x1 时， f(x)= 0x|t2-x2|dt+x1|t2-x2|dt =0x(x2-t2)dt+x1(t2-x2)dt由 f(x)=0求得唯一驻
15、点， 为 f(x)的最小值点最小值为【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，表面积为 S，则【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 (I)f(x)在区间 上的平均值当 0x 因为 f(x)0，所以f(x)f(0)=0 ，故 f(x)在 内无零点，且 由积分中值定理，存在使得 f(x0)= 由于当 f(x)0，所以根据连续函数介值定理，存在 ，使得 f()=0又因为当 f(x)0，所以 f(x)在 内至多只有一个零点综上所述，f(x)在 内存在唯一的零点【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 令 xt=u,则 t=x 一 u，dt=一 du【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
