1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b 连续；f(x)在a，b 可积；f(x)在a，b 存在原函数；f(x)在a，b 可导。若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A）。（B） 。（C） 。（D）。2 设 下述命题成立的是( )（A）f(x)在一 1，1上存在原函数。（B）令 F(x)=-1x(x)dt，则 f(0)存在。（C） g(x)在一 1，1上存在原函数。（D）g(0)存在。3 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数
2、为 ( )（A）1+sinx（B） 1 一 sinx（C） 1+cosx（D）1 一 cosx4 设 ，则( )（A）（B）（C）（D）5 设 ，则 I，J ，K 的大小关系为( )（A）IJK。（B） IKJ。（C） JIK。（D）KJI。6 设 则 F(x)( )（A）为正常数。（B）为负常数。（C）恒为零。（D）不为常数。7 定积分 =( )（A）（B）（C）（D）8 设 f(x)=0x(ecist 一 e-cost)dt，则( )（A）f(x)=f(x+2)。（B） f(x)f(x+2)。（C） f(x)f(x+2)。（D）当 x0 时,f(x)f(x+2)；当 x0 时 f(x)f(
3、x+2)。9 设 g(x)=0xf(u)du，其中 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界。（B）递减。（C）不连续。（D）连续。二、填空题10 已知f(x 3)dx=x3+c(C 为任意常数 )，则 f(x)=_。11 =_。12 =_。13 =_。14 =_。15 =_。16 =_。17 =_。18 =_。19 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求21 求不定积分22 求23 计算不定积分24 证明24 设25 证明 f(x)是以， 为周期的周期函数；26 求 f(x)的值域。27 设 f(x)是区间 上单调、可导的函数，且满足其中 f 一 1 是 f
4、的反函数，求 f(x)。28 设 f(x)连续，且 0 一 1tf(2x 一 t)dt=arctanx3)=1，求 11(dx)。29 计算30 设 f(x)在 一 ，上连续，且有 ，求 f(x)。考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论函数 f(x)在区间a ，b 上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f(x)在a ，b 可导，则 f(x)在a，b连续，那么 f(x)在a，b可积且存在原函数。故选 C。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题
5、解析】 由 可知，g(x)在 x=0 处连续，所以g(x)在一 1，1上存在原函数。故选 C。以下说明选项 A、B、D 均不正确的原因：A 项，由 可知，x=0 是 f(x)的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f(x)不存在原函数。B 项，由可知 F(0)不存在。D 项，由不存在，可知 g(0)不存在。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=sinx，得 f(x)=f(x)dx=f sinxdx=一 cosx+C1，所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C1)dx=一 sinx+C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数
6、。令C1=0， C2=1 得 F(x)=1 一 sinx。故选 B。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 从而，可见有 I1I 2，又由 知，应选 B。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 当 时，因为 0sinxcosx ，所以 ln(sinx)ln(cosx)，因此 综上可知I，J，K 的大小关系是 I KJ。【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由分析可知，F(x)=F(0)，而 故选A。【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常积分，x
7、=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，则故选 B。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由题意 f(x+2)一 f(x)=xx+2(ecost 一 e-cost)at，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得因此 f(x+2)一 f(x)=0，故选 A。【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ，2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)=0xf(u)du 在该区间内必连续，故选D。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【
8、正确答案】 【试题解析】 对等式f(x 3)dx=x3+c 两边求导得，等式两边积分，故。【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 secx 一 tanx+x+
9、C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由题设条件可得 设 t=u+，则有因此 f(x)是以 为周期的周期函数。【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因为sinx周期为 ，故只需在0，
10、上讨论值域。因为令 f(x)=0，得 且【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 在 的两边同时对 x 求导得两边再分别积分得f(x)=Insinx+cosx +C。将 x=0 代入题中的已知方程可得由于 f(x)是区间 上单调、可导的函数，则f 一 1(x)的值域为 ，且为单调非负的，所以 f(0)=0。代入(*)式可得 C=0，故f(x)=lnsinx+cosx。【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 2xt=u，则原等式变为 x2x(2x 一 u)du=arctanx3，即 2xx2xf(u)du x2xuf(u)dM=arctan(x3)，两边同时对 x 求导，可得令 x=1，则上面的等式可以化为 根据已知条件 f(1)=l 可知 12f(x)dx=【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由于 f(x)sinxdx 存在，且记为 A，于是可得，对等式右边积分作积分变量变换：x=t，当 x=0 时，t= ；当 x= 时，t=0.于是【知识模块】 一元函数积分学
