1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小（C）等价无穷小 （D）同阶但不等价的无穷小 2 设 ，则（A）F(x)在 x0 点不连续（B） F(x)存(，)内连续，但在 x0 点不可导（C） F(x)存(，)内可导，且满足 F(x)f(x)（D）F(x)在(，) 内可导，但不一定满足 F(x)f(x)3 下列广义积分中收敛的是（A）（B）（C）（D）4 下列广义积分中发散的是（A）（B）（C）（D）5 下列结论中正确的是（A） 都收敛（B）
2、 都发散（C） 收敛（D） 发散6 双纽线(x 2y 2)2x 2y 2 所围成的区域面积可用定积分表示为（A）（B）（C）（D）二、填空题7 设 f(x)有一个原函数 _。8 _。9 _。10 设 _。11 _。12 _。13 _。14 设 ，则常数_。15 _。16 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求 .18 求定积分 1 1(2xx 1) 2dx19 设 .20 求函数 在区间e， e2上的最大值21 求极限 .22 设函数 f(x)可导，且 f(0)0，F(x) 0xtn1 f(xnt n)出，求 .23 设函数 f(x)连续，且 ，已知 f(1)1，求 1
3、2f(x)dx 的值24 已知，f(x)连续， 0xtf(xt)dt1cosx，求 25 设函数 f(x)在(0，)内连续， ，且对所有 x，t (0，)，满足条件 1xtf(u)dut xxf(u)dux 1tf(u)du，求 f(x)26 求极限 .27 已知 ，求常数 a 的值28 计算 .29 计算 .30 假设曲线 l1：y1x 2(0x1)与 x 轴和 y 轴所围成区域被曲线 l2：yax 2 分为面积相等的两：部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值31 设曲线方程为 ye x (x0) (1) 把曲线 ye x (x0)，x 轴，y 轴和直线x(0)所围成平面图形绕 x
4、 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，求满足 的 a； (2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积32 已知曲线 (a0) 与曲线 在点(x 0，y 0)处有公共切线，求：(1)常数 a 及切点(x 0，y 0)；(2)两曲线与 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积 Vx33 求心形线，ra(1cos)的全长，其中 a0 是常数34 已知一抛物线通过 x 轴上的两点 A(1，0)，B(3 ，0)(1)求证两坐标轴与该抛物线所围成图形的面积等于 x 轴与该抛物线所围成图形的面积；(2)计算上述两个平面图形绕 x 轴旋转一
5、周所产生的两个旋转体体积之比35 设直线 yax 与抛物线 yx 2 所围成图形的面积为 S1，它们与直线 x1 所围成图形的面积为 S2，并且 a1 (1)试确定 a 的值，使 S1S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积36 已知抛物线 ypx 2qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 xy5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (1) 问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值? (2)求出此最大值37 设 D1 是由抛物线 y2x 2 和直线 xa，x2 及 y0 所围成的平面区域；D 2 是由抛物线 y
6、2x 2 和直线 y0，xa 所围成的平面区域，其中 0a 2 (1)试求D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 V2； (2)问 a 为何值时，V 1V 2 取得最大值?试求此最大值38 过坐标原点作曲线 ylnx 的切线，该切线与曲线 ylnx 及 x 轴围成平面图形D(1)求 D 的面积 A；(2)求 D 绕直线 xe 旋转一周所得旋转体的体积 V39 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)汽锤第一次击打将桩打进地下 am根据
7、设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0r1)问：(1)汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)40 设 S 表示夹在 x 轴与曲线 yF(x) 之间的面积对任何 t0， S 1(t)表示矩形txt，0yF(t)的面积求： (1)S(t)S S1(t)的表达式；(2)S(t)的最小值考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【知识模块】 一元
8、函数积分学3 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 2(12e 1)；【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 x 20cost2dt2x 2cosx4；【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 sinx 2；【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ；【知
9、识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 2；【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 1【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 1【知识模块】 一
10、元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 a 0 或 a1【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 ln2【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 (1) (2)(1，e 1 )，S2e 1 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1) ，切点为(e 2，1)；(2)【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 心形线的全长为 s8a【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 (1)；(2) 。【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 (1) ；(2) 。【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 (1) ，q3；(2) 最大值 。【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 (1) ； V 2 a4；(2)a1 时 V1V 2 取得最大值，其值为 V1V2 。【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 (1) ；(2) 。【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 (1) ；(2) 。【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】 (1)S(t) SS 1(t)12te 2t ，t(0，) ：；(2)为最小值【知识模块】 一元函数积分学
