1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 ddF(x)=( )（A）F(x)（B） f(x)（C） F(x)dx（D）f(x)dx2 设 f(x)的导函数为 则 f(x)的一个原函数是( )（A）1+arctanx （B） 1-arctanx（C）（D）3 已知 f(sin2 x)=cos 2x+tan2x，则 f(x)等于( )（A）（B）（C）一 x2-ln|1-x|+C（D）一 x2+ln|1 一 x|+C4 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的一个原函数，
2、则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必为偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数（D）当 f(x)是单调函数时， F(x)必为单调函数5 设 f(x)在( 一，+)上连续，T 为常数，则下述命题错误的是( )（A）对任意的 a0， -aaf(x)dx=0 的充分必要条件是 f(x)为奇函数（B）对任意的 a0， -aaf(x)dx=20af(x)dx 的充分必要条件是 f(x)为偶函数（C）对任意的 a0， aa+Tf(x)dx 与 a 无关的充分必要条件是 f(x)有周期 T（D）f(x+T)=f(x) 的充分必要
3、条件是 0xf(t)dt 有周期 T6 （A） 12ln2 xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1+x)dx（D）2 12ln2(1+x)dx7 设 则( )（A）I 1I 2 1（B） 1I 1I 2（C） I2I 11（D）1I 2I 18 设 F(x)=xx+2esintsin tdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数9 设函数 f(x)连续，则在下列变限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)+f(一 t)dt（B） 0xtf(t)-f(t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt10 设 f(x
4、)在区间a，b上连续，且 f(x)0，则函数 在(a，b)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个11 设 M= 则有( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N二、填空题12 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_13 设 x0 时，可微函数 f(x)及其反函数 g(x)满足关系式 0f(x)g(t)dt= 则 f(x)=_14 设 f(x)是连续函数，则 0xtf(x2 一 t2)dt=_15 设 f(x)有一个原函数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求下列不定积分：17 求下列不定积分:18
5、 求下列不定积分：19 求下列不定积分：20 求下列不定积分：21 求下列不定积分：22 (1)设函数 f(x)的一个原函数为 ln2x，求xf(x)dx (2) 设xf(x)dx=agcsinx+C，求(3)设 ，求f(x)dx(4)23 设 f(x)= ，求 f(x)24 设函数 f(x)连续，且 0xtf(2x 一 t)dt= 已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值25 设 f(x)连续，且积分 01f(x)+xf(xt)dt 的结果与 x 无关，求 f(x)26 设 f(x)为非负连续函数，且 f(x)0xf(x 一 t)dt=e2x(x0)，求 f(x)在0，2 上的平均值2
6、7 设函数 f(x)= (1)证明 f(x)是以 为周期的周期函数； (2)求 f(x)在(一， +)内的最大值与最小值28 设 f(x)连续 (A 为常数)，(x)= 01f(xt)dt，求 (x)，并讨论 (x)在 x=0处的连续性29 求30 考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 ddF(x)=dF(x)+C=dF(x)+dC=f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 故应选C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 先求 f(
7、x)因为 令 sin2x=t，则 f(t)=从而 =一 t2-ln|1-t|+C，故 f(x)=一 x2-ln|1 一 x|+C即应选(C)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 先考虑奇偶性：因为 F(x)=0xf(t)dt+C，所以 F(一 x)=0-xf(t)dt+C令u=-t,0-xf(t)dt+C=0xf(一 u)d(一 u)+C=一 0xf(一 u)du+C 当 f(x)是奇函数时,f(一 u)=-f(u)，从而有 F( 一 x)=0xf(u)du+C=F(x)，即 F(x)必为偶函数，故应选 (A) (B)的反例：偶函数 f(x)=cosx，F(x)=sin
8、 x+1 不是奇函数；(C) 的反例：周期函数 f(x)=cos2 x，F(x)= 不是周期函数；(D) 的反例：(一，+)内的单调函数 f(x)=x， 在(一，+) 内不是单调函数综上可知应选(A)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 设 ， -aaf(t)dt=0，两端对 a 求导，得 f(a)+f(一 a)=0，即 f(一 a)=-f(a)，故 f(x)为奇函数反之，设 f(x)为奇函数，则有 -aaf(t)dt=0，因此(A)正确同理(B) ，(C) 也都正确对于 (D)，可举反例说明是错误的，例如 f(x)=1+cosx是以 2为最小正周期的函数，但是 0xf
9、(t)dt=x+sinx 并不是周期函数，因此(D) 是错误的命题【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 故应选 B【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 所以这便排除了选项(C)、(D) 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 esintsin t 是以 2为周期的函数，且 F(x)为 esintsin t 在一个周期长的区间x ，x+2 上积分，故 F(x)为常数，而 F(x)= xx+2esintsin t dt=02esintsin tdt=一 02esintdcost=0+02cos2tesintdt0 故应
10、选(A)【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=0xtf(t)+f(一 t)dt，则即 F(x)是偶函数，故(A)是正确的类似地可证(B)、(C) 均为奇函数对(D)的函数，不能断定其奇偶性【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 B【试题解析】 F(a)= 又 F(x)在a，b上连续，由零点定理可知 F(x)在(a，b)内至少有一个零点又 F(x)= F(x)在a，b 上单调增加，故 F(x)在(a，b)内的零点只有一个，故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 M 的被积函数为奇函数，所以 M=0而故 PM
11、N ，即应选(D)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 对 f(t)dt=x 两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 对 两边对 x 求导，得由于 f(x)为 g(x)的反函数， gf(x)=x，于是 f(x)=则 将 f(x)代入题中关系式，可得 C=一2，故有【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 令 u=x2 一 t2，du=一 2tdt；当 t=0 时，u=x 2，当 t=x 时 u=0，故【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)有一个原函
12、数 ，则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)令 则 x=1 一 t2，dx=一 2tdt，于是(2)【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 =-cot x.ln sin x+cot2 xdx =-cot x.ln sinx+(csc2 x1)dx =一 cotx.ln sin xcot x 一 x+C(4)e2x(tanx+1)2dx=e2x(sec2x+2tan x)dx=e2xsec2x dx+2e2xtan xdx=e
13、2xdtanx+2e2xtanx dx=e2xtanx 一tan xde2x+2e2xtanxdx=e2xtanx 一 2tanx.e2xdx+2e2xtanxdx=e2xtanx+C【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 (2)移项整理得(3)【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (2)(3)【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (1)由于 ln2x 为 f(x)的一个原函数,f(x)=(ln 2x)= 所以xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx =2lnx 一 ln2x+C(2)对xf(x)dx=arcsinx+c 两边求导，得【知识模块】 一元
14、函数积分学23 【正确答案】 令 01f(x)dx=A，则 f(x)= ,于是【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 u=2xt，则 t=2x 一 u,，dt=一 du，则 0xtf(2x-t)dt=-2xx(2x-u)f(u)du=2xx2xdu-x2xuf(u)du,于是 2x x2xf(u)du-x2xuf(u)du= 两边对 x 求导，得 2 x2xf(u)du+2x2f(2x)-f(x)-2xf(2x).2 一 xf(x)= ，即【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 01f(x)+xf(xt)dt=f(x)01dt+x01f(xt)dt=f(x)+x01f(xt
15、)dt，而于是 01f(x)+xf(xt)dt=f(x)+0xf(u)du 两边对 x 求导，得 01f(x)+xf(xt)dt=f(x)+f(x)=0，从而 f(x)=Ce -x(C 为任意常数)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 只需求 02f(x)dx 即可因为所以 f(x) 0xf(u)du=e2x(x0) 又 f(x)=0xf(u)du，所以 0xf(u)du.0xf(u)du=e2x【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (1)令 u=t+，则|sin t|=|sin u|，故(2)由(1)知 f(x)是以 为周期的周期函数，故只需求出 f(x)在0 ，上的最大值与最小值即可【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 xt=u,则 (x)=01f(xt)dt= 由于 f(0)=0，(0)=01f(0)dt=0，故 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
