1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 F() 2 f(t)dt，其中 f(t) (1sin 2t)cos2t，则 F()（A）为正数（B）为负数（C）恒为零（D）不是常数2 设 F() f(t)dt，f()连续，则 F()（A）（B）（C）（D）二、填空题3 _4 _5 _6 曲线 a(costtsint) ，ya(sinttcost)(0t2)的长度 L_7 曲线 y22 在任意点处的曲率为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设两 ya (a0) 与 yln 在( 0，
2、y 0)处有公切线 (如图 313)，求这两曲线与轴围成的平面图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积 V9 求圆弧 2 y2a 2( ya)绕 y 轴旋转一周所得球冠的面积10 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力11 在 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F (M 为杆的质量)12 比较定积分 的大小13 证明下列不等式：14 设 f()在(a，b)上有定义，c (a，b)，又 f()在(a，b)c 连续，c 为 f()的第一类间断点问 f
3、()在(a，b)是否存在原函数? 为什么?15 设 f()定义在 (a，b)上，c (a，b)，又设 H()，G()分别在(a，c，c ，b)连续，且分别在(a，c)与(c ，b) 是 f()的原函数令 F() 其中选常数 C0，使得 F()在 c 处连续就下列情形回答 F()是否是 f()在(a，b)的原函数 ()f() 在点 c 处连续； ()点 c 是 f()的第一类间断点； ()点c 是 f()的第二类间断点16 已知 f() ，在(，)存在原函数，求常数 A 以及 f()的原函数17 计算下列不定积分：18 计算下列定积分：19 求下列积分： () 设 f() 1y dy，求 01f
4、()d； ()设函数 f()在0 ，1连续且 01f()dA，求 01d1f()f(y)dy20 设函数 f()在( ， )内满足 f()f( )sin ，且 f()， 0，)，求3f()d21 计算下列反常积分：22 假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明：23 设 f()在a，b上有二阶连续导数，求证：24 设 f()与 g()在a，b 上连续，且同为单调不减(或同单调不增) 函数，证明： (ba) abf()g()dabf()dabg()d (*)25 设 f()在a，b有二阶连续导数，M f()，证明：26 设 f()在a，b有连续的导数，求证：27 设 f() 0 dt，求 f(
5、)考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故 F()F(0) 02f(t)dt 20f(t)dt，即 F()为常数由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 2 0f(t)dt 0 (1sin 2t)d(sin2t) 0sin2t (2sin 2t)dt0， 故应选 B【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 A【试题解析】 这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变
6、限积分求导法得 F() 故应选 A【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题3 【正确答案】 3【试题解析】 令 2t，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 ln(1 )【试题解析】 因(e )e (1)，令 et，则 dte (1)d ，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 2 2a【试题解析】 曲线由参数方程表出，直接套弧长公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 用曲率计算公式 K 由 y22 推出 2yy2，得【知识
7、模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 先求 a 值与切点坐标由两曲线在( 0，y 0)处有公切线得 所求的旋转体体积等于曲线 y 分别与 轴及直线 e 2 所围成平面图形绕 轴旋转而成的旋转体体积之差【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 将它表为直接由旋转面的面积计算公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 取坐标系如图 317 所示，椭圆方程为 1分割区间0，a，在小区间，d 对应的小横条薄板上，水对它的压力 dP压强面积.2d d， 其中 为水的比重于是从 0 到 a 积分便得
8、到椭圆形薄板所受的压力【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 如图 321 建立坐标系，取杆的右端为原点， 轴正向指向质点P任取杆的一段 ， d，它对质点 P 的引力为 dF 因此，杆与质点 P 间的引力大小为 F其中 M 是杆的质量【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小这里被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 () 设 f() ，则 f()在区间
9、0，1上连续，且可见函数 f()在点 处取得它在区间0 ，1 上的最小值 ，又因 f(0)f(1) 1，故 f()在区间0 ，1上的最大值是 f(0)f(1)1，从而()注意 0 时，0tan1，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 设 F()是 f()在(a，b) 的原函数考察由于 c 是 f()的第一类间断点，故 存在，但不相等，即 F+(c)F(c) 或f()f(c)， 即 F(c)f(c) 这都与 F()是 f()在(a，b)的原函数相矛盾因此 f()在(a，b)不存在原函数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 ()因此，F()是 f(
10、)在(a，b)的原函数 ()F()不是 f()在(a，b)的原函数，因为在这种情形下 f()在 (a，b)不存在原函数 () 若 c 是 f()的型第二类间断点，则 f()在(a ，b)也不存在原函数若存在原函数 F()，则F(c)不存在，与已知矛盾 当 c 是非型的第二类间断点的情形下结论与 f()的表达式有关，需要对问题作具体分析【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 易求得仅当 A0 时 f()在 0 连续于是 f()在( ， )连续，从而存在原函数当A0时 0 是 f()的第一类间断点，从而 f()在(，) 不存在原函数因此求得 A0下求 f()的原函数 当 0
11、时，当 0时， 取 c10，随之取 C21，于是当 0 -时与 0 +时 f()d 的极限同为 1，这样就得到 f()的一个原函数 因此f()dF() C ，其中 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 () 采用凑微分法，并将被积函数变形，则有()如果令 t 至，计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是对千右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 而第二个积分可使用代换 sint，则()对此三角有理式，如果分子是 asinbcos 与(asinbcos)acosbsin 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1sinb 1cosA(asinbcos)B
12、(acosbsin) 为此应有(V)记原式为 J，先分项： 易凑微分得 J2arcsindarcsin arcsin2C 作变量替换()记原积分为 J【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 () 这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根式 令 t，则 ln(1t 2)，d dt于是()令 ttan ，则 2arctant，()由于 ，故被积函数为分段函数，其分界点为 于是()作幂函数替换后再分部积分，则有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 ()令 () *f(y)dy，则 ()f()，于是 01d1f()f(y)dy 011f(y)dyf
13、()d 01()d() 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 () 这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 因为 ，且 1，于是有原函数()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为，因而可令 sint，即 (1sint)，代入即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 令 t ，则当 时，t，0 +时，t ；0 -时，t；时， t，
14、故应以 0 为分界点将(*)式左端分成两部分，即而且将 与 t的关系反解出来，即得 同时，当 0 时， ，d ；当 0 时，因此即(*)式成立【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 连续利用分部积分有 abf()d abf()d(b)f(a)(b a) abf()( b)d(a) f(a)(b a) ab(a)df()(b) f(a)(ba) ab(a)df() abf()(a)( b)d f(a)(ba) f(b)(b a) abf()d abf()( a)(b)d， 移项后得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 引进辅助函数 F()( a) a
15、(t)g(t)dt af(t)dtag(t)dt 转化为证明F()0(a， b) 由 F(a)0， F() af(t)g(t)dt (a)f()g()f() ag(t)dtg()af(t)dt af(t)g(t)g()dt af()g(t)g()dt af(t)f()g(t)g()dt0(a，b) 其中( a)f()g() af()g()dt，我们可得 F()在a ，b单调不减F()F(a)0( a，b)，特别有 F(b)0 即原式成立【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 分部积分两次得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 可设 f()f( 0)，即证 (ba) f( 0) abf()d(ba) abf() d， 即证 abf(0)d abf()d(ba) abf()d 注意故得证【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
