1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为( ，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 0x(2tx)f(xt)dt，则F(x)是（A）单调增加的奇函数（B）单调增加的偶函数（C）单调减小的奇函数（D）单调减小的偶函数2 下列函数中在1，2 上定积分不存在的是3 设 f(t)=01ln dx，则 f(t)在 t=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导二、填空题4 设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x+01xf(x)dx，则 f(x)=_5 ()
2、下列可表示由双纽线(x 2+y2)2=x2y 2 围成平面区域的面积的是 _()由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)(摆线)及 x 轴围成平面图形的面积S=_6 设 f“(x)连续，f(x)0，则 =_7 (n0)=_8 设 f(x)具有连续导数，且 F(x)=0x(x2t 2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)=_9 曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sinttcost)(0t2)的长度 L=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求下列变限积分函数的导数：()F(x)= ，求 F(x)(x0)；(
3、)设 f(x)处处连续，又 f(0)存在，F(x)= ，求 F“(x)( x+)11 计算下列定积分：12 求不定积分13 求下列不定积分：14 求一块铅直平板如图 31 所示在某种液体(比重为 )中所受的压力15 设两曲线 y= (a0)与 y= 在(x 0，y 0)处有公切线(如图 313)，求这两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V16 设 f(x)在(a，b)上有定义，c (a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问 f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么 ?17 求下列积分： () 设 f(x)= ，求 01x2f(x)
4、dx； ()设函数 f(x)在0，1连续且 01f(x)dx=A，求 01dxf(x)f(y)dy18 设 f(x)与 g(x)在a，b 上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明： (ba) abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx (*)19 边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深h 处，设 a b，液体的比重为 7，求薄板受的液体压力20 设有以 O 为圆心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式21 求22 求定积分：()J= 2 2min2，x 2dx
5、； ()J= 1 x(1t )dt ，x123 设 a0， f(x)在( ， +)上有连续导数，求极限24 求星形线 L： (a0)所围区域的面积 A25 设常数 ab，曲线 ：y= (x，) 的弧长为 1() 求证：l= ；() 求定积分 J=26 证明：定积分 I= sinx2dx027 设函数 f(x)与 g(x)在区间 a，b上连续，证明： abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx (*)考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对被积函数作变量
6、替换 u=xt，就有 F(x)= 0x(2tx)f(xt)dt=0x(x2u)f(u)du=x 0xf(u)du2 0xuf(u)du 由于 f(x)为奇函数，故 0xf(u)du 为偶函数，于是 x0xf(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 0xuf(u)du 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 F(x)= 0xf(u)du+xf(x)2xf(x)= 0xf(u)duxf(x) ， 由积分中值定理知在 0 与 x 之间存在 使得 0xf(u)du=xf()从而 F(x)=xf()f(x)，无论x0，还是 x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0 ，从而应选 C 其实，由
7、F(x)=0xf(u)duxf(x)= 0xf(u)f(x)du 及 f(x)单调增加也可得 F(x)0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 D【试题解析】 显然，A，B，C 中的 f(x)在1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在1，2均可积，即 1 2f(x)dx选 D【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)= 01lnxdx=(xlnxx) 01=1因=1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续又故 f(x)在 t=0 处不可导选 C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题4 【正确答案】
8、x+【试题解析】 定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 01xf(x)dx=A，只要求得常数 A 就可得到函数 f(x)的表达式为此将题设等式两边同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有 A=01x2dx+01Axdx 故 f(x)=x+ 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 A；3a 2【试题解析】 () 双纽线的极坐标方程是：r 4=r2(cos20sin 2)即 r2=cos2当，时，仅当 时才有 r0(图 325)由于曲线关于极轴与 y 轴均对称，如图 325，只需考虑 部分由对称性及广义扇形面积计算公式得故应选
9、A()当 t0，2 时，曲线与 x 轴的交点是 x=0，2a(相应于 t=0，2) ，曲线在 x 轴上方，见图 326于是图形的面积【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 (xnln1+x n)+C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)= 0x(x2t 2)f(t)dt=x20xf(t)dt 0xt2f(t)dt，所以 F(x)=2x0xf(t)dt+x2f(x)x 2f(x)=2x0xf(t)dt又依题设，当 x0 时 F(x)与 x2
10、 为等价无穷小，从而【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 2 2a【试题解析】 曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 () 注意到积分的上、下限都是 x 的复合函数，由变限积分求导公式(3 4) 可得 ()令 g(t)=注意变限积分函数 F(x)=1xg(t)dt 其被积函数 g(t)还是变限积分函数且 g(t)是 t 的可导函数，于是【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 () 由于 ，所以()由于分段函数 f(x)的分界点为 0，所以
11、，令 t=x1 后，有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 令 ex=t，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 () 被积函数中含有两个根式 ，为了能够同时消去这两个根式，令 x=t6则 ()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，然而也应该通过变量替换将根式去掉令 =t，即 x=ln(1+t2)，从而【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 液体中深度为 h 处所受的压强为 p=h，从深度为 a 到 x 之间平板所受的压力记为 P(x)，任取x，x+ x上小横条，所受压力为 P=P(x+x)P(x)x.cx令x
12、0，得 dP(x)=xcdx于是，总压力为 P=abxcdx= (b2a 2) =(a+b)c(ba)=. 矩形中心的深度.矩形的面积【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 先求 a 值与切点坐标由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线得所求的旋转体体积等于曲线分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 设 F(x)是 f(x)在(a ，b)的原函数考察由于 x=c 是 f(x)的第一类间断点，故 存在，但不相等，即 F+(c)F (c)或， 即 F(c)f(c)这都与 F(x
13、)是 f(x)在(a，b)的原函数相矛盾因此 f(x)在(a，b)不存在原函数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 ()()令 (x)=x1f(y)dy，则 (x)=f(x)，于是 01dxx1f(x)f(y)dy=01x1f(y)dyf(x)dx = 01(x)d(x)=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 引进辅助函数 F(x)=(xa) axf(t)g(t)dt axf(t)dtaxg(t)dt 转化为证明F(x)0(xa，b) 由 F(a)=0， F(x)= axf(t)g(t)dt+(xa)f(x)g(x)f(x) axg(t)dtg(
14、x)axf(t)dt =axf(t)g(t)g(x)dt axf(x)g(t)g(x)dt = axf(t)f(x)g(t)g(x)dt0(xa，b) 其中(xa)f(x)g(x)= axf(x)g(x)dt，我们可得 F(x)在a，b单调不减=F(x)F(a)=0(xa，b)，特别有 F(b)0 即原式成立【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 建立坐标系如图 332 所示，x 轴铅直向下一长边的深度为 h，另一长边的深度为 h+bsino，在h ，h+bsin 中任取x，x+dx，相应的薄板上一小横条，长 a，宽 ，于是所受的压力为 整块板受的压力为 P=【知识模块】
15、 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 如图 336，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s 到 s+ds 的一段微元 ，它的质量为 ，到 P 点的距离为的夹角为 ，cos= ，则微元 对 P 点的引力沿 方向的分力为 于是整个圆环对 P 点的引力为 F=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 记 sgnx= 则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 ()min2，x 2= 于是()当1x0 时，J=1 x(1+t)dt= 当 x0 时，J= 1 0(1+t)dt+0x(1+t)dt=【知识模块】 一元函数积分概念
16、、计算及应用23 【正确答案】 记 I(a)= a af(t+a)f(ta)dt，由积分中值定理可得因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：0xa，0y，【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 () ：y 2=(xa)(bx)=x 2+(a+b)xab，两边对 x 求导得()曲线： 为圆心，半径为的半圆周由题()：=a，= 则对应的 长【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 先作变量替换 t= 被积函数在0，2 上变号， t(0，)时取正值，t( ，2) 时取负值，于是把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 被积函数 f(t)=，若补充定义 f(0)=0，则 f(t)在0，连续，且 f(t)0(t(0，)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 把证明定积分不等式 ( abf(x)g(x)dx)2abf2(x)dxabg2(x)dx (*)转化为证明重积分不等式 引入区域 D=(x，y)nxb，ayb【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
