1、考研数学二（二次型）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x32 一 4x1x2+2x2x3 的标准形可以是( )（A）y 12+4y22。（B） y12 一 6y22+2y22。（C） y12 一 y22。（D）y 12+4y22+y32。2 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2 一 5(x2+x3)2 的规范形为( )（A）y 12+y22+4y32。（B） y22 一 y32。（C） y12 一 y22 一 y32。（D）y 12 一 y
2、22+y32。3 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 的规范形为( )（A）f=z 12+z22+z32。（B） f=z12 一 z22。（C） f=z12+z22 一 z32。（D）f=z 12。4 下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )（A）（B）（C）（D）5 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（A）等价但不相似。（B）合同但不相似。（C）相似但不合同。（D）等价，合同且相似。6 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵
3、，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的秩。（B） A 与 B 有相同的特征值。（C） A 与 B 有相同的特征向量。（D）A 与 B 有相同的行列式。7 下列矩阵中，正定矩阵是( )（A）（B）（C）（D）8 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1=(x1 一 x2)2+(x2 一 x3)2+(x3 一 x1)2。（B） f2=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2。（C） f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3 一 x4)2+(x4 一 x1)2。（D）f 4=(x2+x2)2+(x2+x3)2+(x2+x4)2+(x4 一 x1)2。
4、9 关于二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )（A）是正定的。（B）其矩阵可逆。（C）其秩为 1。（D）其秩为 2。10 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零。（B）存在可逆矩阵 P 使 P 一 1AP=E。（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1C。（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同。二、填空题11 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+ax3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为_。12 设 则二次型的对应矩阵是_。13
5、二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x34x1x3 的规范形是_。14 已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=xTAx 通过合同变换 x=Py 化为 f=yTBy，其中 则 a=_。15 实对阵矩阵 A 与矩阵 合同，则二次型 xTAx 的规范形为_。16 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为_。17 设 f=x12+x22+5x32+2a1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_。18 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A2=2A2+5A 一 6E，
6、且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是_。19 设 =(1， 0，1) T，A= T，若 B=(kE+A)*是正定矩阵，则 k 的取值范围是_。20 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值；22 设二次型 f=x12+x22+x32 一 4x1x24x1x3+2a2x3，经正交变换化为 3y12+3y22+by3
7、2，求 a，b 的值及所用正交变换。22 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2。23 求 a 的值；24 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；25 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解。考研数学二（二次型）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 f=x12 一 4x1x2+4x1+x22+2x2x3+x32=(x1 一 2x2)2+(x2+x3)2，可见二次型的正惯性指数 p=
8、2，负惯性指数 q=0。所以选 A。【知识模块】 二次型2 【正确答案】 B【试题解析】 将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22一 4x32+14x1x2+4x1x34x2x3，则该二次型矩阵为 ，由可知，矩阵 A 的特征根为 12，一 6，0。因此该二次型的正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=1。所以选 B。【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 利用配方法将该二次型化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 2x2+2x3)2，则该二次型的规范形为 f=z12。故选 D。【知识模块】 二次型4 【正确答案】 C【试题解析
9、】 合同的定义：C TAC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是： r(A)=r(B)且行列式A 与 B同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为1，3，0，所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数，因此 A 和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为一 1，一 2，一 2，因此 xTAx与 xTBx 正、负惯性指数不同，故不合同。所以选 C。【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AEij
10、=B，E ijB=C， 故可得 C=E ijB=EijAEij。 因 Eij=Eij=Eij 一 1，故 c=E ijAEij=Eij 一1AEij=EijTAEij， 所以 A 与 C 等价，合同且相似。故应选 D。【知识模块】 二次型6 【正确答案】 A【试题解析】 合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。【知识模块】 二次型7 【正确答案】 C【试题解析】 二次型正定的必要条件是：a ij0。在选项 D 中，由于 a33=0，易知f(0，0，1)=0 ，与 x0，x TAx0 相矛盾。因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 在选项 B 中，三
11、阶主子式 3=A=一 1。因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵。故选 C。【知识模块】 二次型8 【正确答案】 D【试题解析】 f=x TAx 正定对任意的 x0，均有 xTAx0；反之，若存在 x0，使得 f=xTAx0 则 f 或 A 不正定。 A 选项因 f1(1，1，1)=0，故不正定。 B 选项因f2(一 1，1，1)=0 ，故不正定。 C 选项因 f3(1，一 1，1，1)=0，故不正定。由排除法，故选 D。【知识模块】 二次型9 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)=1，故选项 C 正确，而选项 A，B，D 都不正确。【知识模块】 二次型10 【正确答案】
12、D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件。这是因为， (A)=p+qn，当 q=0 时，有r(A)=pn。此时有可能 pn ，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型。因此矩阵 A不一定是正定矩阵。例如。f(x 1，x 2，x 3)=x12+5x32。选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P 一 1AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。选项C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与 E 合同，也就没有A 是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不正定。关
13、于选项 D，由于 A 正定A 一 1 正定A *正定A *与 E 合同，所以 D 是充分必要条件。【知识模块】 二次型二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)【知识模块】 二次型12 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。【知识模块】 二次型13 【正确答案】 z 12+z22 一 z32【试题解析】 所以矩阵 A的特征值是 2，6，一 4，即正交变换下的二次型的标准形是 2y12+6y22 一 4y32，因此其规范形是 z12+z22 一 z32。【知识模块】 二
14、次型14 【正确答案】 一 2【试题解析】 合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=xTAx 的正、负惯性指数均为 1 可知，矩阵 B 的秩 r(B)=2，从而有B=一(a 一 1)2(a+2)=0。若 a=1，则 r(B)=1，不合题意，舍去。若 a=一 2，则由得 B 的特征值为 0，3，一 3，此时正、负惯性指数均为 1。【知识模块】 二次型15 【正确答案】 y 12+y22 一 y32【试题解析】 矩阵 A 与 B 合同，说明二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数。矩阵 B 的特征多项式为 所以矩阵 B 的特征值为1，2，一 1。于是二次型 xTBx
15、的正惯性指数 2，负惯性指数 1，故二次型 xTAx 的规范形是 y12+y22 一 y32。【知识模块】 二次型16 【正确答案】 z 12 一 z22【试题解析】 令 所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y1y2 是合同的，故有相同的合同规范形。二次型f=y1y2 矩阵为 所以原二次型的正、负惯性指数均为 1，故原二次型的合同标准形为 z12 一 z22。【知识模块】 二次型17 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为因为 f 为正定二次型，所以必有 1 一 a20 且一 s(5s+4)0，因此 故当 时，A 正定，从而 f 正定。【知识模块】
16、二次型18 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A3 一 2A2 一 5A+6E=O。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一 22 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 22 一 5+6=( 一 1)(+2)( 一 3)=0，因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故栖+A 的特征值分别为k+1，k 一 2， k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故 K2。【知识模块】 二次型19 【正确答案】 k0 或 k一 2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1，且 tr(A)=T=2，故矩阵 A 的特征值是2，0，0，从而矩阵 kE+A 的特征值是 k+2
17、，k，k。矩阵 B=(kE+A)*= kE+A (kE+A)一 1 的特征值是 k2，k(k+2) ，k(k+2)。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k2 0 且 k(k+2)0，解得 k0 或 k一 2。【知识模块】 二次型20 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=(一 aE+ATA)T=一 aE+ATA=B，故 B 是一个对称矩阵。B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 xTBx=xT(一 aE+ATA)x =一 axTx+xTAx =一axTx+(Ax)TAx0，其中(Ax) T(Ax)0，x Tx0，因此 a 的取值范围是一 a0，即a0。【知识模块】 二次型
18、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，可得A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2。又因所以特征值为1=0， 2=4， 3=9。【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B 不仅合同而且相似。由 1+1+1=3+3+b 得 b=一 3。对 =3，则有因此 a=一 2(二重根)。由(3EA)x=0，得特征向量 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，一 1)T。由(一 3E 一 A)x=0，得特征向量 3=(1，1，1) T。因为 =3 是
19、二重特征值，对 1， 2 正交化有 1=1=(1，一1，0) T，经正交交换 x=Cy，二次型化为 3y12+3y22 一 3y32。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型23 【正确答案】 二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵A 的秩也为 2，从而 因此 a=0。【知识模块】 二次型24 【正确答案】 由(I)中结论 a=0，则 由特征多项式得矩阵 A 的特征值1=2=2， 3=0。当 =2，由(2EA)x=0 得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1)T。当 =0，由(OEA)x=0 得特征向量 3=(1，一 1，0) T。容易看出 1,2,3 已两两正交，故只需将它们单位化：那么令 Q=(1， 2， 3)=则在正交变换 X=Q)，下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=2y22+2y22。【知识模块】 二次型25 【正确答案】 由 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+23x2+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得所以方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为 k(1，一 1，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 二次型
