1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在下列二元函数中，f y(0，0)f y(0，0)的二元函数是（A）f(，y) 42 2y2y 10（B） f(，y)ln(1 2y 2)cosy（C） f(，y)（D）f(，y)2 设 M(，y)在 M0 取极大值，并 ，则（A）（B）（C）（D）3 设 f(，y) 则 f(，y)在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在二、填空题4 设 zyf( 2y 2)，其中 f(u)可微，则 _5 设 f(，y
2、) 有连续偏导数，满足 f(1，2)1，f (1，2)2，f y(1，2)3，()f(，2f(，2f(，2) ，则 (1)_6 设 (y， z)，yy(z， )，zz(，y)都是方程 F(，y，z) 0 所确定的隐函数，并且 F(，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求下列函数在指定点处的二阶偏导数：8 设 zf(u，v，)，u(，y)，v(y)都是可微函数，求复合函数 zf(，y)，(y，) 的偏导数 9 设 zf(u，v)，u( ，y)，v(，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数zf(，y) ，( ，y)的一阶与二阶偏导数10 设 u
3、f(，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定 z，t 为 y 的函数，求 11 设 uu(，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换 rcos，yrsin 下有12 设 zf(，y)在区域 D 有连续偏导数，D 内任意两点的连线均属于 D求证：对 A(0，y 0)，B( 0 ，y 0 y)D， (0，1) ，使得 f( 0，y 0 y)f( 0，y 0) 13 设 z(，y) 3y 33y () ，y ，求 z(，y)的驻点与极值点 ()D (，y)02，2y2 ，求证： D 内的唯一极值点不是z(， y)在 D 上的最值点14 求函数 z 2y(4y)在由直线 y6， 轴和
4、 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值15 已知平面曲线 A22By Cy 21 (C0，ACB 20)为中心在原点的椭圆，16 设 z(，y)满足 求 z(，y)17 设 f(，y) ()求 ；()讨论 f(，y)在点(0， 0)处的可微性，若可微并求 df (0，0) 18 设 z( 2 y2) ，求 dz 与 19 设 z f(y)y(y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 20 设21 设 zz(，y)是由方程 y yze z。所确定的二元函数，求22 设由方程 (bzcy ，caz ，ay b)0 (*) 确定隐函数 zz(，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非
5、零常数，且 ba0 ，求23 设24 设 zz(，y)有连续的二阶偏导数并满足 ()作变量替换 u3 y，vy，以 u，v 作为新的自变量，变换上述方程； ()求满足上述方程的 (，y)25 在半径为 R 的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者26 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z 2y 2，yz1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小 ?27 设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 zf( )满足方程 4( 2y 2)，求 f(u)28 若函数 f(，y)对任意正实数 t，满足 f(t ，ty)t nf(，y)， (7 12) 称 f(，y)为，1 次齐
6、次函数设 f(，y)是可微函数，证明：f( ， y)为 n 次齐次函数考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论 f(，y)在点(0 ，0)处是否连续，是否可偏导先讨论f(，y)在点(0，0)处是否可偏导由于 f(，0)0( (，)，则0同理， 0因此 B，D 被排除 再考察 f(，y)在点(0，0)处的连续性令 y 3，则f(0，0)， 因此 f(，y)在点(0，0)处不连续故应选
7、C【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 302【试题解析】 () f(，u()，u()2f(，v()，v()2f(，2)， v(1)2f(1，2)2，u(1)2f(1，v(1)2f(1，2) 2， (1) f 1(1，2)f 2(1，2)u(1)23u(1)， u(1)2f 1(1，2) f 2(1，2)v(1) 223v(1)， v(1)2f 1(1，2)2f 2(1，2)2(22.3) 16 往回代 u(1)2(23.16)100，(1)23.100302【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 1【试题解析】 由隐函数求
8、导法知由 F(，y，z) 0 确定 (y，z)，将方程对 y 求偏导数得 将这三式相乘得 1【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 由复合函数求导法可得【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 已求得 下面进一步求 第一步，先对 的表达式用求导的四则运算法则得第二步，再求这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数 仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 ，y 的函数，它们的复合仍是 ，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求 即第三步，将它们代入(*)式得用类似方法可求得 【知识模块】
9、多元函数微分学10 【正确答案】 注意 z z(y)，tt(y)，于是因此，我们还要求 ，将方程组两边对 y 求导得记系数行列式为 W(y t2)(ezcost)2zt(te zsint)，则【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 利用复合函数求导公式，有再对 用复合函数求导法及(*)式可得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 连接 A，B 两点的线段属于 D： 0，1，在上 f(，y)变成 t 的一元函数 (t)f( 0t，y 0t y)， (t) 在0，1可导，由复合函数求导法现在二元函数的增量看成一元函数 (t)的增量，由一元函数微分中值定理【知识模块】 多元函数微分学
10、13 【正确答案】 () 解方程组 得全部驻点(0，0)与(1，1)再求 (0，0)处，ACB 20 (0，0)不是极值点 (1，1)处，ACB 20，A0 (1，1)是极小值点 因此 z(，y)的驻点是(0 ，0)，(1，1)，极值点是 (1，1)且是极小值点 ( )D 内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)1D 的边界点(02)处 z(0，2)(2)38z(1，1) 因 z(，y)在有界闭区域 D 上连续，必存在最小值， 又 z(0，2)z(1 ，1)，(0，2) D z(1，1)不是 z(，y) 在 D 的最小值【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 区域 D 如图 71
11、 所示，它是有界闭区域 z(，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，它或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 2y(4 y) 2yy(8 32y)， 2(4 y) 2y 2(4 2y) 再解方程组得 z(，y)在 D 内的唯一驻点(， y)(2，1)且 z(2，1)4 在 D的边界 y0，06 或 0，0y6 上 z(，y)0； 在边界 y6(06)上将y6 代入得 z(，y) 2(6)(2)2( 36 2)，06令 h()2( 36 2)，则 h()6( 24)，h(4)0，h(0)0，h(4)64，h(6)0，即 z(，y)在边界y6(06
12、)上的最大值为 0，最小值为64 因此， z(，y)4， z(，y) 64【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 椭圆上点(，y) 到原点的距离平方为 d2 2y 2，条件为A22ByCy 210 令 F(，y，) 2y 2(A 22ByCy 21)，解方程组 将式乘 ，式乘y，然后两式相加得 (1A) 2ByBy(1C)y 20， 即2y 2(A 22By Cy 2) ， 于是可得 d 从直观知道，函数 d2 的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组 F0，F y0有非零解，其系数行列式应为零即 该方程一定有两个根 1， 2，它们分别对应 d2 的最大值与最小
13、值因此，椭圆的面积为 S【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 求积分得 z( ，y)siny ln1y (y)， 其中 (y)为待定函数由 式得siny ln1y(y)siny，故 (y)2siny ln1y 因此，z(，y)(2 )siny 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 () 当(，y)(0，0)时， 当(，y)(0， 0)时，因 f(，0)0( )，于是 0 由对称性得当( ，y)(0 ，0)时 0 ()考察 ，在点(0，0)处的连续性注意即 ，在点(0，0) 处均连续，因此( ，y)在点(0，0)处可微于是【知识模块】
14、 多元函数微分学18 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得由 dz 的表达式得 对 y 求导得【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 先求 由于 f(y)是一元函数 f(u)与二元函数 uy 的复合，u 是中间变量，(y)是一元函数 (v)与二元函数 v y 的复合，v 是中间变量由题设知 ，先求 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 uf( )是 uf(s ，c)与 复合而成的，y，z 的三元函数先求 du(从而也就求得 )或先求蓑， 也就可求得 du，然后再由 由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得【知识模块】
15、多元函数微分学21 【正确答案】 将方程两边求全微分后求出 dz 由出可求得 再将 分别对，y 求导求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 yddy ddyde ，再将 对 求导得代入 的表达式得最后求出【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 将方程(*)看成关于 ，y 的恒等式，两边分别对 ，y 求偏导数得由a b，可得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 将方程组对 求偏导数得将方程组对 y 求偏导数同样可【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 () 将名对 ，y 的偏导数转换为 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得 这里
16、 仍是 u，v 的函数，而 u，v 又是 ，y 的函数，因而将，代入原方程得 即原方程变成 0 ()由题()，在变量替换 u3 y，vy 下，求解满足的 zz(，y) 转化为求解满足 的 zz(u，v) 由 式 0，对 v积分得 f(u)，其中 f(u)为任意的有连续导数的函数 再对 u 积分得 z(u)(v) ，其中 ， 为任意的有连续的二阶导数的函数 回到原变量得z(3 y)(y)【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 用 ，y ，z 表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积 S 可用 ，y，z，R 表示为 S 其中 z2y)，将其代入得 S R2sinsinysin(y)，定义
17、域是 D(，y) 0 ，y0， y2 现求 S(，y)的驻点：解，得唯一驻点：(，y) ( )在。内部，又在 D 的边界上即0 或 y0 或 y2 时 S(，y)0因此，S 在( )取最大值 因y ， z ，因此内接等边三角形面积最大【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 用拉格朗日乘子法令 F(，y，z， ，) 2y 2z 2( 2y 2z)(yz1) ，由前三个方程得 y，代入后两个方程得 解得 y ，z 记，可算得 g(M1) 95 ，g(M 2)95 从实际问题看，函数 g 的条件最大与最小值均存在，所以 g 在点 M1，M 2 分别达到最小值和最大值，因而函数 f 在点 M1
18、，M 2 分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点 M1 处最大，在点 M2 处最小【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 令 u ，则有进而可得所以 4( 2y 2)u2f(u)4( 2y 2)uf(u) 由题设条件，得 u 2f(u)uf(u) 10 这是可降阶的二阶方程，令 Pf(u) ，则方程化为 u 2 uP1， 解此一阶线性方程将上述方程改写成记 yf(u)，于是，yf(u) ln2uC 1lnuC 2 (u0)， 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 设 f(，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(t，ty)t nf(，y)( t0) 为恒等式将该式两端对 t 求导，得 f 1(t，ty)yf 2(t，ty) nt n-1f(，y)(t0)， 令 t1，则 f(，y)yf y(，y)nf(，y) 现设上式成立考察 (t)，由复合函数求导法则，可得即 (t)为常数，(t)(1)f(，y) ，即 f(，ty)t nf(，y)【知识模块】 多元函数微分学
