1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在2 设 z=f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续3 设 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点 (0，0)处连续且 (0，0)=0 ，则f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不连续，但偏导数存在
2、（C）可微（D）不可微4 设 u(x，y) 在 M0 取极大值，并 ，则二、填空题5 设 z=z(x，y)满足方程 2ze z+2xy=3 且 z(1，2)=0，则 dz (1，2) =_6 设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1 ，f x(1，2)=2 ，f y(1，2)=3 ，(x)=f(x， 2f(x，2f(x，2x)，则 (1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 证明极限 不存在8 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)， x)的偏导数9 设 u=f(x，y ，z，t)关于各变量均有连续
3、偏导数，而其中由方程组确定 z，t 为 y 的函数，求10 设 z=f(x，y)在区域 D 有连续偏导数，D 内任意两点的连线均属于 D求证：对A(x0，y 0)， B(x0+x，y 0+y)D， (0，1)，使得11 求函数 z=x2y(4xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值12 设 z(x，y)满足 求 z(x，y) 13 设 z=(x2+y2) ，求 dz 与14 设 u=15 设由方程 (bzcy ，cxaz，aybx)=0 (*)确定隐函数 z=z(x，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a ， b，c 为非零常数，且 b1a 20，求16
4、 设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 ()作变量替换 u=3x+y，v=x+y ，以 u，v 作为新的自变量，变换上述方程；()求满足上述方程的 z(x，y)17 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?18 若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx ，ty)=t nf(x，y)， (712)称 f(x，y)为 n次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x ， y)为 n 次齐次函数19 设 z=f(x，y)满足 )=2x，f(x，1)=0 ， =sinx，求 f(x，
5、y)20 设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+xyp(t)dt 确定，求 ，其中 (u)121 设22 设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u55xy+5u=1 确定求23 若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数，证明： =0(r0)24 设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件： F(u，v)=0，其中 F有连续的偏导数且25 设 f(x，y)=2(yx 2)2 x7y 2，()求 f(x，y)的驻点； ()求 f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点26 设函数 z=(1+ey)cosxye
6、y，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点27 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(x，y)=0 在 x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f x(a，b)=0 ，且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中28 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
7、1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论 f(x，y)在点(0 ，0)处是否连续，是否可偏导先讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导由于 f(x，0)=0( x(，+)，则因此 B，D 被排除再考察 f(x，y)在点(0，0)处的连续性令 y=x3，则 f(0，0)，因此 f(x，y)在点(0，0)处不连续故应选 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 设z=f(x，y)f(0，0)，则可知 这表明f(x，y)= 在点(0，0)处连续 因 f(x，0)=0( x)，所以 fx(0，0)= f(x，0) x=0=0，同理 fy(0，0)=0 令 =zf x(0，0)
8、xf y(0，0)y=，当( x，y)沿 y=x 趋于点(0，0)时即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选 B【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 逐项分析：()xy在(0，0) 连续，(x ，y)在点(0，0)处连续=f(x，y)在点(0，0) 处连续( )f x(0，0)=0 ，同理 fy(0，0)=0 () 考察 f(x， y) = xy(x，y)= f(x，y)在点(0，0) 处可微选 C【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数的极大值
9、的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0)=x=x0是 f(x)的极大值点= (若0，则 x=x0 是f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x0，y)=y=y 0 是 g(y)的极大值点=【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 4dx2dy【试题解析】 将方程分别对 x，y 求偏导数，得令 x=1，y=2 ，z=0 得【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 302【试题解析】 (x)=f(x，u(x)，u(x)=2f(x，v(x) ，v(x)=2f(x，2x)， v(1)=2f(1 ，2)=2， u(1)=2f(1，v(1)=2f(1 ，2)
10、=2， (1)=f 1(1，2)+f 2(1，2)u(1)=2+3u(1)， u(1)=2f1(1，2)+f 2(1，2)v(1)=22+3v(1) ， v(1)=2f 1(1，2)+2f 2(1，2)=2(2+2.3)=16 往回代 = u(1)=2(2+3.16)=100 ，(1)=2+3100=302【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 (x，y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0， 0)，有再令(x，y)沿抛物线 y2=x 趋于(0，0)，有 由二者不相等可知极限不存在【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 由复合函数求导
11、法可得【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 注意 z=z(y)，t=t(y)，于是 因此，我们还要求 ，将方程组两边对 y 求导得记系数行列式为 W=(yt 2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 连接 A，B 两点的线段属于 D： 上f(x，y)变成 t 的一元函数 (t)=f(x0+tx，y 0+ty)，(t)在0，1可导，由复合函数求导法= 现在二元函数的增量看成一元函数 (t)的增量，由一元函数微分中值定理= f(x 0+x，y 0+y)f(x 0，y 0)=(1)(0)=()=【知识模块】 多元函数微分学11 【
12、正确答案】 区域 D 如图 71 所示，它是有界闭区域 z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，它或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 =2xy(4xy)x 2y=xy(83x2y)，=x2(4xy)x 2y=x2(4x2y)再解方程组 得 z(x，y)在 D 内的唯一驻点(x ，y)=(2 ，1)且 z(2，1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6 或 x=0，0y6 上z(x， y)=0； 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6x 代入得 z(x，y)=x 2(6x)(2)=2(x36x 2)， 0x6令 h(x)=2(x36x
13、2)，则 h(x)=6(x24x)，h(4)=0，h(0)=0，h(4)=64，h(6)=0 ，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为64因此，【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求枳分得 z(x ，y)=xsiny ln1xy+(y)，其中 (y)为待定函数由 式得siny ln1y+(y)=siny，故 (y)=2siny+ ln1y因此， z(x，y)=(2x)siny+【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得由 dz 的表达式得 对 y 求导得【
14、知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 u= 是 u=f(s，t)与 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du(从而也就求得 )或先求 也就可求得 du，然后再由由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 将方程(*)看成关于 x，y 的恒等式，两边分别对 x，y 求偏导数得由a+b，可得【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 () 将 z 对 x，y 的偏导数转换为 z 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得 这里 仍是 u，v 的函数，而 u，v 又是 x，y 的函数，因而将，代入原方程得()由题() ，在变量替换 u
15、=3x+y，v=x+y 下，求解满足 的 z=z(x，y)转化为求解满足的 z=z(u，v)由 式= =0，对 v 积分得 =f(u)，其中 f(u)为任意的有连续导数的函数再对 u 积分得 z=(u)+(v)，其中 ， 为任意的有连续的二阶导数的函数回到原变量得 z=(3x+y)+(x+y)【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 用拉格朗日乘子法令 F(x，y， z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2z)+(x+y+z1)， 由前三个方程得 x=y，代入后两个方程得 记，可算得 g(M 1)=9 ，g(M 2)=9+ 从实际问题看，函数 g 的条件最大与最小值均存在，所以 g 在点
16、 M1，M 2 分别达到最小值和最大值，因而函数 f 在点 M1，M 2 分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点 M1 处最大，在点 M2 处最小【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=t nf(x，y)( t0)为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf 1(tx，ty)+yf 2/sub(tx，ty)=nt n1 f(x，y)( t0)，令 t=1，则 xfx(x，y)+yfy(x，y)=nf(x ，y) 现设上式成立考察 (t)= ，由复合函数求导法则，可得【知识模块】 多元函数微分学19 【正
17、确答案】 =2xy+(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)=xy2+(x)y+(x)，(x)也是 x 的任意函数由 =sinx，得2xy+(x) y=0=sinx，则 (x)=sinx由 f(x，1)=0，得xy 2+(x)y+(x) y=1=x+sinx+(x)=0，则 (x)=x sinx因此，f(x，y)=xy 2+ysinxxsinx【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 将方程对 x 求导= 对 y 求导得分别乘 P(y)，P(x)后相加得由于 (u)1 =【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 u 是 u=f(s，t)与 复合而成的 x，y，z 的三元函数先
18、求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 将方程 u55xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u4ux5y+5u x=0，解得 u x= ，故 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f1，f 2 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由 z=f(rcos，rsin)与 r 无关 = =0【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 将方程 F(u，v)=0 分别对 x，y 求偏导数，南复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解 ，其系数行列式必为零，即【知识
19、模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 () 解即驻点为(0，0)与(2， 8)() 在(2，8)处， ，ACB 20，A0 = (2，8)为极小值点在(0，0)处，ACB 2=0，该方法失效但令 x=0 =f(0，y)=y 2，这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 y=x2，f(x，x 2)=，这说明原点邻域中抛物线 y=x2 上的函数值比原点函数值小，所以(0，0) 不是极值点【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 () 先计算()求出所有的驻点由 解得(x，y)=(2n，0) 或 (x，y)=(2n+1)，2)， 其中 n=0，1，2，()判断所有驻点是否是极
20、值点，是极大值点还是极小值点在(2n，0)处，由于 =(2)(1)0=2 0， =20则 (2n，0)是极大值点在(2n+1)，2)处，由于则(2n+1)，2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点 (2n，0)(n=0 ，1，2，)，而无极小值点【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 f x(x，(x)+f y(x，(x)(x)=0 (*)因 b=(a)，则有 f(a，b)=0， (a)=0，于是 fx(a，b)=0 将(*)式两边对 x 求导得 f“ xx(x，(x)+f“ xy(x，(x)(x
21、)+ fy(x，(x)(x)+f y(x，(x)“(x)=0，上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0 ，得因此当 0 时，“(a)0，故 b=(a)是极大值；当0 时，“(a)0，故 b=(a)是极小值【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，b，c ，并设以 AC 边为旋转轴(见图 81)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为 又设三角形的面积为 S，于是有 问题化成求 y(a，b，c) 在条件 a+b+c2p=0 下的最大值点，等价于求 V0(a，b，c)= (pa)(pb)(pc)=ln(pa)+ln(pb)+ln(pc)lnb 在条件 a+b+c2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c ，)=V 0(a，b，c)+(a+b+c2p)，求解方程组比较，得 a=c，再由得 6=2(p a) 比较， 得 b(pb)=(p a)p 由，解出 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 时，绕边长为 的边旋转时所得立体体积最大【知识模块】 多元函数微分学
