1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()，g()在 0 均不连续，则在 0 处（A）f()g() ，f().g()均不连续（B） f()g()不连续，f()g()的连续性不确定（C） f()g()的连续性不确定，f()g()不连续（D）f()g() ，f()g()的连续性均不确定2 当 n时 e 是 的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小3 设 f() ，则下列结论中正确的个数是 (1)1 为可去间断点 (2)0 为跳跃间断点 (3)1 为无穷间断点（A）0（
2、B） 1（C） 2（D）34 把当 0 +时的无穷小量 tan， 0(1cos )dt， 1 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ，（C） ， （D），二、填空题5 1 2 当 0 时是 的_阶无穷小(填数字)6 已知 9，则 a_7 _8 若 _9 arctan(ln.sin)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 证明： 11 设 0，且 ()当 a时 f()与 g()可比较，不等价( r1，或 )，求证：f()g()f *()g *()(a)； ()当 0 a 时 f()与 f*()均为正值 求证：12 设 f()在(a，b)连
3、续， 1， 2， n(a，b)， 1， 2， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b) ，使得13 设 f()在a，b连续，且 a，b，总 ya，b，使得f(y) f()试证： a，b，使得 f()014 设 f()在0，)连续， f()A0，求证： 0f(t)dt 15 设 f()在0，)连续， f()A0，证明： 01f(n)dA16 判断下列结论是否正确，并证明你的判断 ()若 ny n(nN) ，且存在极限nA， ynB ，则 AB； ()设 f()在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限 f() A，则 f()在(a ，b)有界； () f()，则 0 使得当0a 时万 有界1
4、7 设 f() 又 a0，问 a 为何值时 f()存在18 证明：() 不存在；() 设 f() ，则 f()不存在19 求 20 求极限 21 求下列极限：22 求 23 求 24 求 25 求下列极限 f()：26 求数列极限 27 设 n ，求 n28 求数列极限： () (M0 为常数)； ( )设数列 n有界，求 29 设 f()在0，1上连续，求 01nf()d30 设 a10， an+1 (n1，2，)，求 an31 设 12， n+12 ，n1，2，求 n考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
5、1 【正确答案】 D【试题解析】 如： 在 0 均不连续，但 f()g() 1，f().g()0 在 0 均连续 又如：在 0 均不连续， 而 f()g()f().g() 在 0 均不连续 因此选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 D【试题解析】 该题就是要计算极限因此选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 D【试题解析】 f() ，0，1 是 f()的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型计算可得 f(00) 1，f(00) 1， 由于 f(00)与 f(00)存在但不相等，故 0 是 f()的跳跃间断点 1是 f()的可去间断点， 又 1
6、是 f()的无穷间断点，因此选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 C【试题解析】 即当0 +时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除选项 A 与 D 又因即当 0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除选项 B，即应选 C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题5 【正确答案】 4【试题解析】 由于因此当 0 时 1 2 是 的 4 阶无穷小【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 ln3【试题解析】 aln3【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 3【试题解析】 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛
7、必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 5【试题解析】 故 325【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 【试题解析】 ln.sin(1 sin)，由于 时， 0，sin 有界，故 .sin0，ln.sin，于是 arctan(ln.sin) 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 取对数化乘积为和差【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 () 考查极限：因此，
8、f() g()f *()g *()(a)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 依题设 n 个函数值 f(1)，f( 2)，f( n)中一定有最小和最大的，不妨设 minf( 1)，f( n)f( 1)，maxf( 1)，f( n)f( n)， 则 f(1)if(i)f(n) 记 if(i)，若f( 1)，则 1(a，b)，f() ；若 f( n)，则 n(a，b)，f() 若f(1)f( n)， 在 1 与 n 之间，即 (a，b)，f()【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 若在a， b上 f()处处不为零，则 f()在a，b上或恒正或恒负不失一般性，
9、设 f()0，a ，b，则 0a，b，f( 0) f()0由题设，对此 ， ya，b，使得 f(y) y(y) f(0)f( 0) 与 f(0)是最小值矛盾因此， a，b ，使 f()0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 因 ，由极限的不等式性质可知， X，当X 时 f() ，则 X 时有因此0f(t)dt【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 先作变量替换：这是 型数列极限将它转化为 型函数极限，便可用洛必达法则求之，即【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 () 不正确在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，n ，y n ，则
10、ny n，而 0 ()不正确这时只能保证：点 c 的一个空心邻域 U0(c，) 0c 6使 f()在 U0(c，)中有界，一般不能保证 f()在(a，b)有界例如：f() ， (a，b)(0，1)，取定 c(0，1)，则 ，但 f() 在(0，1)无界 ()正确因为0，由存在极限的函数的局部有界性 0 使得当0a 时 有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 由f(00)f(0 0)，得 a 因此，当且仅当 a 时，存在 f()【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 () 取 ，则均有n0，y n0(n)，但 因此 不存在 ( )已知 f() ，其中 g(
11、) 0cost2dt，由于而 不存在，所以不存在【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e )2 得 020， 其中 (用洛必达法则)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 其中， 故 =e1+ln22e【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 () 注意 0 时，()因为ln(12)2(0)，所以【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换：0 时最后用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 属型先通分化成 型
12、未定式，则有 直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明 ln( ) (0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1) (0)就有【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 由于 ，而或者 (0)， 若用该等价无穷小因子替换(可简化计算) ，则有因此 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 因此 ()由于因此，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 由(n)用等价无穷小因子替换得 引入函数 f() (0)，则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小注意，已知 ，于
13、是 1 因此 n1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法28 【正确答案】 () 存在自然数 k，kM，使 1 ，当 nk 时，有 即当nk 时，有 又 是常数，且 0，由夹逼定理知0 () 由于 n有界，故 M0，对一切 n 有 nM 于是 0，由题()的结论及夹逼定理知 0即0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法29 【正确答案】 因为 01nd ，且连续函数f()在0，1存在最大值记为M，于是 又0，则 01nf()d0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法30 【正确答案】 显然，0a n3(n2，3，) ，于是a n有界 令 f()，则 an+1f(a n)， f() 0( 0)于是 f()在 0 单调上升，从而a n是单调有界的，故极限 an 存在令 anA，对递归方程取极限得 A ，解得 A 因此 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法31 【正确答案】 令 f()2 ，则 n+1f( n)显然 f()在 0 单调下降，因而由上面的结论可知 n不具单调性易知， 2n 设 na，则由递归方程得a2 ，即 a22a10，解得 a ，则由 a2 知a 12 现考察 n+1a因此，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
