1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1,2,3，若P=(1，2 3，一 2)，则 P 一 1AP=( )（A）（B）（C）（D）2 已知 1 是矩阵 A 属于特征值 A=1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵 A 属于特征值 =5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1，一 2， 3)。（B） (1， 2+3， 2 一 23)。（C） (1， 3， 2)。（D）( 1+2， 1 一 2， 3)。3 已知 1 是矩阵 A 的
2、属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A 的属于特征值 =6 的特征向量，则矩阵 P 不可能是( )（A）( 1，一 2， 3)。（B） (1， 2+3， 2 一 23)。（C） (1， 3， 2)。（D）( 1+2， 1 一 2， 3)。4 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A3 一 2A2，则 r(B)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）不能确定。5 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则( )（A）A 的 n 个特征向量两两正交。（B） A 的 n 个特征向量组成单位正交向量组。（C）对于 A 的 k 重特征值 0，有 r(0E 一 A)=n-k。（D）
3、对于 A 的 k 重特征值 0，有 r(0EA)=k。二、填空题6 已知 有三个线性无关的特征向量，则 x=_。7 已知矩阵 和对角矩阵相似，则 a=_。8 设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1,2,3，令P=(33,1,2)，则 P 一 1AP=_。9 已知 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1) T， 3=(一 2，一1，2) T，则 A=_。10 设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1， 2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=(1，2，1) T， 2=(1，一 1，1) T，则特征值
4、2 对应的特征向量是_。11 设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值为 1=1，属于 1 的特征向量为(1，一 1)T，若A= 一 2，则 A=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 。12 求 的关系式并写成矩阵形式： ；13 验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；14 当15 在某国，每年有比
5、例为 P 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn(xn+yn=1)。(I) 求关系式 中的矩阵 A；() 设目前农村人口与城镇人口相等，即 。15 设三阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，9) T。16 将向量 =(1，1，3)T 用 1,2,3 线性表示；17 求 An。18 已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=O，且秩 r(A)=2，
6、求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)。18 设 A，B 为同阶方阵。19 若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；20 举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立；21 当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立。21 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且22 求 A 的所有特征值与特征向量；23 求矩阵 A。23 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。24 求 A 的特征值与特征向量；25 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A。26 设三阶实
7、对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=(0，1，1) T，求 A。27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=一 1， 3=0；对应 1， 2 的特征向量依次为 p1=(1，2，2) T，p 2=(2，1，一 2)T，求 A。28 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。28 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于特
8、征值 1 的一个特征向量，记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵。29 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；30 求矩阵 B。31 已知矩阵 有特征值 =5，求 a 的值；当 a0 时，求正交矩阵 Q，使 Q 一 1AQ=A。32 设 且存在正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 ，求 a，Q。考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=33，有 A(一 2)=3(一 2)，即当 2 是矩阵 A 属于特
9、征值=3的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =一 2 的特征向量。当 P 一 1AP=A 时，P 由 A 的特征向量构成，A 由 A 的特征值构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是1，3，一 2，故对角矩阵 A 应当由 1，3，一 2 构成，因此排除选项 B、C。由于23 是属于 =一 2 的特征向量，所以一 2 在对角矩阵 A 中应当是第二列，所以应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 若 P=(1,2,3)，则有 AP=PA，即(A1,A2,A3)=(11
10、， 22， 33)，可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1,2,3 线性无关。若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。若 ， 是属于特征值的特征向量，则 与 的线性组合仍是属于特征值 A 的特征向量。本题中，2， 3 是属于 =5的线性无关的特征向量，故 2+3， 2 一 23 仍是 =5的特征向量，并且 2+3， 2 一 23 线性无关，故选项 B 正确。对于选项 C，因为 2， 3 均是 =5的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确。故选项 C 正确。由于1， 2 是不同特征值的特征向
11、量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 错误。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可得 A1=21，A 2=62，A 3=63。因 2 是属于特征值 =6的特征向量，所以一 2 也是属于特征值 =6的特征向量，故选项 A 正确。同理，选项 B，C 也正确。由于 1， 2 是属于不同特征值的特征向量，所以 1+2， 1 一2 均不是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 一定错误。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可
12、逆矩阵 P，使得 于是 P 一 1BP=P 一 1(A3 一 2A2)P=P 一1A3P 一 2P 一 1A2P=(P 一 1AP)3 一 2(P 一 1AP)2则矩阵 B 的三个特征值分别为 0，0，一1，故 r(B)=1。所以选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 C【试题解析】 实对称矩阵 A 必可相似对角化，A 的属于 k 重特征值 0 的线性无关的特征向量必有 k 个，故 r(0E 一 A)=n 一 k。选项 C 正确。需要注意的是：实对称矩阵 A 的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n 个特征向量不一定是单位正交向量组。【知识模块】
13、矩阵的特征值和特征向量二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程可得 A 的特征值是=1(二重)，=一 1。因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =1必有两个线性无关的特征向量，因此 r(E 一 A)=32=1，根据【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值3 有两个线性无关的特征向量，即(3E 一 A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵3E 一 A 的秩为 1。 可见 a=一 2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 【试题解
14、析】 因为 33， 1，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 【试题解析】 由 Ai=ii(i=1，2，3)可知 A 的特征值为 1，2，3。令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 t(一 1，0，1) T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 所以对应于特征值 2的特征向量是 t(一 1，0，1) T，t0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 【试题解析】 设矩阵 A 的特征值 1=1 和 2
15、 对应的特征向量分别为 1=(1，一 1)T和 2=(x1，x 2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵 Q，使得，而相似矩阵的行列式相等，所以 即2=一 2。又实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1T2=0，即x1 一 x2=0.方程组 x1 一 x2=0 的基础解系为 2=(1，1) T。令则【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 由题意得 化成矩阵形式为可见【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 因为行列式 所以 1， 2 线性无关。又 故 1
16、为 A 的特征向量，且相应的特征值 1=1。，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 由题意，人口迁移的规律不变 xn+1=xn+qyn 一 pxn=(1 一 p)xn+qyn，y n+1=yn+pxn 一 qyn=pxn+(1 一 q)yn，用矩阵表示为得A 的特征值为 1=1， 2=r，其中 r=1 一 Pq。当 1=1 时，解方程(AE)x=0 ，得特征向量 当 2=r 时，解方程(ArE)x=0，得特征向量 令P=(P1，P 2)= ，则于是【知识模块】 矩阵的特征值和特征
17、向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，即 解得 x1=2，x 2=一2，x 3=1，故 =21 一 22+3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 A=2A 12A2+A3，则由题设条件可得 An=2An12An2+An3=2122n2+3n3=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值，(0)是属于特征值 的特征向量，则 A=，于是 An=n。用 右乘 A4+2A3+A2+2A=O，得( 4+23+2+2)=0。因为特征向量 0，故 4+23+2+2=(+2)(2+1)=O。由于实
18、对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或一 2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2。因 AA，则有所以 r(A+E)=r(A+E)=3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B，则EB=EP 一 1AP= P 一 1EPP 一 1AP= P 一 1(E 一 A)P=P 一1EA P=E 一 A。所以 A、B 的特征多项式相等。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 令 ，那么E 一 A
19、= 2=E 一B。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B=O，从而 A=POP-1=O 与已知矛盾。也可从 r(A)=1，r(B)=0，知 A 与 B 不相似。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有所以存在可逆矩阵 P，Q ，使因此有(PQ 一 1)一 1A(PQ 一 1)=B，矩阵 A 与 B 相似。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 得即特征值 1=一 1， 2=1
20、对应的特征向量为又由 r(A)=23 可知，A 有一个特征值为 0。设 3=0 对应的特征向量为 与是特征值 0 对应的特征向量。因此 k11，k 22，k 3 是依次对应于特征值一 1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非零常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有则 =3 是矩阵 A 的特征值，=(1，1，1) T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k=k(1，1，1) T，其中 k 是不为零的常数。又
21、由题设知A1=0，A 2=0，即 A1=0.1，A 2=0.2，而且 1， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0 的全部特征向量为k11+k22=k1(一 1，2，一 1)T+k2(0，一 1，1) T，其中 k1，k 2 是不全为零的常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。由施密特正交化法，取【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 设矩阵 A 的属于特征值 =1 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T。实对称矩阵
22、 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1Tx=0，即 x2+x3=0。方程组x2+x3=0 的基础解系为 2=(1，0，0) T， 3=(0，一 1，1) T。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=(q1，q 2，q 3)，使将对应于特征值 1、 2 的特征向量单位化，得 由正交矩阵的性质，q3 可取为 的单位解向量，则由 可知 因此【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的
23、特征向量有两个，因此 1,2,3 必线性相关，显然 1,2 线性无关。设矩阵 A 属于 =0 的特征向量=(x1， x2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T。根据A(1， 2，)=(6 1，6 2，0)得 A=(61，6 2，0)( 1， 2，0) -1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 由 A1=1 得 A21=A1=1，依次递推，则有 A31=1，A 31=1，故 B1=(A5 一 4A3+E)1=A51 一 4A31+1=一 21，即 1 是矩阵 B 的属于特
24、征值一2 的特征向量。由关系式 B=A5 一 4A3+E 及 A 的三个特征值 1=1， 2=2， 3=一 2得 B 的三个特征值为 1=一 2， 2=1， 3=1。设 2,3 为 B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1,2,3 正交，即 1T2=0， 1T3=0。因此 2,3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为B 的全部特征向量为其中 k10，k 2，k 3 不同时为零。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 因 =5 是矩阵 A
25、的特征值，则由可得 a=2。当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式 矩阵 A 的特征值是 1，2，5。由(EA)x=0 得基础解系 1=(0，1，一 1)T；由(2EA)x=0 得基础解系 2=(1，0，0) T：由 (5E 一 A)x=0 得基础解系 3=(0，1，1) T。即矩阵 A 属于特征值 1，2,5 的特征向量分别是 1,2,3 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 知矩阵 A 的特征值是 2，5，一 4。对 =5，由(5EA)x=0 得基础解系 2=(1，一 1，1)T。对 =一 4，由(一 4E 一 A)x=0 得基础解系 3=(一 1，0，1) T。因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2,3，即【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
