1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P(3 2， 3，2 1)，则 P-1AP 等于( )（A）（B）（C）（D）2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQB（C） r(A) r(B)（D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2E，则1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E A)n，则1 一定是
2、矩阵 A 的特征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 A 相似的矩阵为( )（A）（B）（C）（D）5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P-1APB（B）
3、存在正交矩阵 Q，使得 QTAQB（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB二、填空题7 设 A ，A0 且 A*的特征值为1，2，2，则a11 22aa 33_8 设三阶矩阵 A 的特征值为 11， 2 ， 3 ，其对应的特征向量为1， 2， 3，令 P(2 3，3 1， 2)，则 P-1(A-12E)P_9 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1 2)，A 2(1 2 3)线性无关，则 1， 2， 3满足_10 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是
4、三阶方阵，且A1 1 2，A 2 2 3，A 3 3 1，则A_11 设 A 为三阶实对称矩阵， 1(a ，a，1) T 是方程组 AX0 的解，2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a_12 设 A 有三个线性无关的特征向量，则 a_13 设 A 有三个线性无关的特征向量，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2A，r(A) r(0 rn) 求5E A 15 设 A 相似于对角阵 求：(1)a 及可逆阵 P，使得 P-1APA，其中A 为对角阵； (2)A 10016 设 A 有三个线性无关的特征向量，且 2 为
5、 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵17 设 A 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201018 设 方程组 AX 有解但不唯一 (1) 求 a； (2)求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵； (3) 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵19 设矩阵 A (1)若 A 有一个特征值为 3，求 a； (2)求可逆矩阵P，使得 PTA2P 为对角矩阵20 设矩阵 A 可逆， 为 A*对应的特征向量 (1)求 a，b 及 对应的 A*的特征值； (2)判断 A 可否对角化21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量
6、，且 A1 12 22 3，A 22 1 22 3，A 32 12 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A *2E 22 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A *)24E 的特征值为 0，5，32 求 A-1 的特征值并判断 A-1 是否可对角化23 设 A 的一个特征值为 12，其对应的特征向量为 1 (1)求常数 a，b，c； (2) 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得P-1AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由24 设二维非零向量口不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 ，A 线性无关； (2)若 A2A60，求 A 的特征值
7、，讨论 A 可否对角化25 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1 2 3，A 2 1 3，A 3 1 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2) 判断矩阵A 可否对角化26 设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)ABBA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角矩阵27 若 A 可逆且 AB，证明：A *B *；考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
8、显然 32， 3，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以 P-1AP ，选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以选项 A，B，C 都不对，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(EA) n刚EA0，于是1 为 A 的特征值； 若 A 的短行元素之和为1，则 根据特征值特征向量的定义，1 为 A的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATAE，令 AXX( 其中 X0)，则XTAT XT，于是 XTATAX 2XTX，即( 21)X TX0，而 XTX0，故
9、 21，再由特征值之积为负得1 为 A 的特征值，选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQB，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 因为A *A 24，
10、且A0，所以A2，又AA*AE2E，所以 A-1 A*，从而 A-1 的特征值为 ，1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为2 ，1，1，于是a11a 22a 332112【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 【试题解析】 P -1(A-12E)PP -1A-1P2E 而 P-1A-1P ， 所以P-1(A-12E)P【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 230【试题解析】 令 11 2A(1 2) 3A2(1 2 3)0，即 ( 1 12 12 3)1 (22 223)2 32330，则有 1 12 1230， 22 2230， 3230，因
11、为 1， 2， 3 只能全为零，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 2【试题解析】 令 P( 1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆， 由AP(A 1，A 2，A 3)( 1， 2， 3) 得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为AX0 及(AE)X0 有非零解，所以 10， 21 为矩阵 A 的特征值，1 (a，a，1) T，a 2(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有1T2a 2a 1a0，解得 a1【知识模块】 矩阵的特征值和特征
12、向量12 【正确答案】 4【试题解析】 由EA (1)( 1) 20 得11， 2 31 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(EA)1，解得a4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 0【试题解析】 由EA0 得 A 的特征值为 12， 2 36因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)1，解得 a0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 A2A A(EA) O r(A)r(EA) n A 可以对角化 由 A2A，得A.EA0，所以矩阵 A 的特征值为 0 或 1
13、 因为 r(A)r 且 0r n，所以 0 和 1 都为 A 的特征值，且 1 为 r 重特征值， 0 为n 重特征值， 所以 5EA 的特征值为 6(r 重)，5(nr 重)，故5EA 5 n-r6r【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 (1)EA0 1 21， 31 因为 A 相似于对角阵，所以 r(EA)1 (EA)X0 基础解系为1(0，1，0) T， 2(1 ，0，1) T，(EA)X0 基础解系为 3(1，2，1) T，令P( 1， 2， 3)，则 P-1APdiag(1，1，1) (2) -1A100E A100PP -1E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量1
14、6 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E A)1， 而 2EA所以 2，y2 由EA ( 2) 2(6)0 得 1 22， 36 由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 3 令 P，则有 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值1 21， 3 41因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有于是 a0， b0 当 1 时，(EA)X0 得 当 1时，由(E A)X0 得 所以 P
15、-1A2010PE，从而 A2010E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 (1)因为方程组 AX 有解但不唯一，所以 A0，从而a2 或 a1 当 a2 时，r(A)r( )23，方程组有无穷多解； 当 a1 时， r(A)1r( )，方程组无解，故 a2 (2)由E A(3)(3)0 得10， 23， 33 由(0EA)X0 得 10 对应的线性无关的特征向量为1 ； 由(3E A)X0 得 23 对应的线性无关的特征向量为 2 ； 由(3EA)X0 得 33 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 (1)EA( 21) 2(a2
16、)2a 1， 把 3 代入上式得 a2，于是 (2)由EA 20得 A*的特征值为 1 2 31， 49 当 1 时，由(EA 2)X0 得1 (1，0，0 ，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3(0，0，1，1) T； 当 9 时，由(9EA 2)X0 得 4(0 ，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1(1 ，0，0，0) T， 2(0， 1，0，0) T， 3 ，将 4 规范化得 4 令 P( 1， 2， 3， 4) ， 则 PTA2P【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 (1)显然 a 也是矩阵 A 的特征向量，令 A 1 则有A 12，设 A 的另
17、外两个特征值为 2， 3，由 得 2 32 对应的A*的特征值为 4 (2)2EA ，因为 r(2EA)2，所以2 32 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)A( 1， 2， 3)( 1， 2， 3) ，因为1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆， 故 A B 由EA EB (5)(1) 20，得 A 的特征值为5，1，1 (2)因为A5，所以 A*的特征值为 1，5，5，故 A*2E 的特征值为3，3，3从而A *2E27【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1
18、， 2， 3，因为 B(A *)24E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 49 36，于是的三个特征值为236 又因为A *36A 3-1，所以A6 由，得 13， 22， 31， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A-1 的特征值为 1， 因为 A-1 的特征值都是单值，所以 A-1 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 (1)由 A12 1，(2)由EA 0，得 1 22， 31 由(2EA)X0，得 由(EA)X0，得 3 显然 A 可对角化，令 P 则 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 (
19、1)若 ， A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1k 2A 0，可设 k20，所以 A ，矛盾，所以 ，A 线性无关 (2)由 A3A60，得(A 2A6E)0， 因为 0，所以 r(A2A6E) 2，从而A 2A6E0，即 3EA.2EA0，则3E A 0或2EA 0 若3EA0，则 3EA 可逆，由(3EA)(2EA)0，得(2EA)0，即 A2，矛盾； 若2EA0 ，则 2EA 可逆，由(2E A)(3EA)0，得 (3EA)0，即 A3 ，矛盾，所以有 3EA0且2EA 0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值3，2，故 A 可对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25
20、 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 2 30， 由A(1 2 3)2( 1 2 3)，得 A 的一个特征值为 12； 又由 A(1 2)( 1 2)，A( 2 3)( 2 3)，得 A 的另一个特征值为 21因为1， 2， 3 线性无关，所以 1 2 与 2 3 也线性无关，所以 21 为矩阵 A的二重特征值，即 A 的特征值为 2，1，1 (2)因为 1 2， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 (1)由 ABAB 得 ABABE E，(EA)(EB)E ， 即EB
21、与 EA 互为逆矩阵，于是(EB)(E A)E(EA)(EB)， 故ABBA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设 A的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， BA( 1， 2， 3)B( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)B( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 ABi ii1，2，3 若 Bi0，则 Bi是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi ii； 若 Bi0，则i 是 B 的属于特征值。的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是B 的特征向量，因此，令 P( 1， 2， 3)，则 P-1AP，P -1BP 同为对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A ，B 的特征值相同且AB， 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 -1APB， 而A*AA -1，B *BB -1， 于是由 P-1APB ，得(P -1AP)-1B -1，即 P-1A-1PB -1， 故 P-1AA -1PAB -1 或 P-1A*PB *，于是 A*B *【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
