1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（A）AE 。（B） 2AE。（C） A+2E。（D）A 一 4E。2 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值。（B）至少是 A 的二重特征值。（C）至多是 A 的二重特征值。（D）一重、二重、三重特征值都有可能。3 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性
2、无关的充分必要条件是( )（A） 10。（B） 20。（C） 1=0。（D） 2=0。4 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2线性无关，而A3=3A 一 2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )（A）。（B） A2。（C） A2一 A。（D）A 2+2A 一 3。5 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）EA=E B。（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量。（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵。（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似。6 下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( )7 设
3、 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1， 2， 3，若 P=(1，2 3，一 2)，则 P1 AP=( )8 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A3 一 2A2，则 r(B)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）不能确定。二、填空题9 矩阵 的非零特征值为_。10 已知 =12是 A= 的特征值，则 a=_。11 已知 =(1，3，2) T，=(1，一 1，一 2)T，A=E 一 BT，则 A 的最大的特征值为_。12 若三维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_。13 设 A 是三阶矩阵，且各行元
4、素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_。14 已知矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_。15 设矩阵 A 与 B= 相似，则 r(A)+r(A 一 2E)=_。16 设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 P=(31， 2，2 2)，则 P1 AP=_。17 设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值为 i=1，属于 1 的特征向量为(1，一 1)T，若A= 一 2，则 A=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设矩阵 A= ，行列式A= 一 1，又 A*的属于特征值 0 的一个特征向量为 =(一 1
5、，一 1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值。18 已知 的一个特征向量。19 求参数 a， b 及特征向量 p 所对应的特征值；20 问 A 能不能相似对角化?并说明理由。21 设矩阵 A= 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化。22 设矩阵 A= 。当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵。22 设 A 是三阶方阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量组，且A1=2+3，A 2=3+1，A 3=1+2。23 求 A 的全部特征值；24 A 是否可对角化?24 设三阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2
6、=2， 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1，l ，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，9) T。25 将向量 =(1，1，3) T 用 1， 2， 3 线性表示；26 求 An。26 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。27 求 A 的特征值与特征向量；28 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A。29 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=(0，1，1) T，求 A。30 28已知矩阵 A= 有特征值
7、=5，求 a 的值；当 a0 时，求正交矩阵Q，使 Q1 AQ=A。考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1，一 1，2，4，所以 A*=一 8，又A *=A 41 ，因此A 3=一 8，于是A=一 2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1，一 。因此，A 一 E 的特征值是一 3，1，一 2，一 。因为特征值非零，故矩阵 AE 可逆。同理可知，矩阵 A2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选 C。【知识模块】 矩阵的特征
8、值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。r(A)=l，即 r(OEA)=1， (OEA)x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 =0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如 A= ，r(A)=1，但 =0 是三重特征值。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A(1+2)=0，则(k 1+k21)1+k222=0。 因为 1， 2 线性无关，所以 k1+k21=0，且 k22=0。 当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时1， A(1+2)线性
9、无关；反过来，若 1，A( 1+2)线性无关，则必然有 20(否则，1 与 A(1+2)=11 线性相关)，故应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2 一 3A=0。故 (A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A2 一 A)。 因为 ，A ，A 2 线性无关，必有 A2 一 A0，所以 A2 一 A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。
10、 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。 综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B。 于是 P1 (tEA)P=tE 一 P1 AP=tE 一 B， 可见对任意常数 t，矩阵 tE 一 A 与 tE 一 B 相似。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，r(A)=1，r(B)=2 ，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr(A)=9，
11、tr(B)=6，故 A、和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为 2，2，一 3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，一 3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵 ，故由矩阵相似的传递性可知 A 和 B 相似。所以选 C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32，有 A(一 2)=3(一 2)，即当 2 是矩阵 A 属于特征值=3 的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理
12、，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =一 2 的特征向量。当 P1 AP= 时，P 由 A 的特征向量构成，由 A 的特征值构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是1，3，一 2，故对角矩阵 应当由 1，3，一 2 构成，因此排除选项 B、C 。由于23 是属于 =一 2 的特征向量，所以一 2 在对角矩阵 中应当是第二列，所以应选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP= ，于是 P1 BP=P1 (A3 一 2A2)P=P1 A3P 一
13、2P1 A2P=(P1 AP)3 一 2(P1 AP)2则矩阵 B 的三个特征值分别为 0，0，一1，故 r(B)=1。所以选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 4【试题解析】 矩阵 A 的特征多项式为E 一 A = =2( 一4)，所以非零特征值为 4。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12 是 A 的特征值，因此12EA=0，即12EA=9(4 一 a)=0，所以 a=4。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 7【试题解析】 因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是T
14、 的特征值为 0，0，tr( T)，其中 tr(T)=T=一 6。所以 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，则 A 的最大的特征值为 7。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以( T)=(T)=2，故 T 的非零特征值为 2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足 ，故矩阵 A 一定有一个特征值为 5。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根
15、，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。 由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1+2+3=3，故 1=2=3=2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r(A)+r(A 一 2E)=r(B)+r(B 一 2E)=2+1=3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 【试题解析】 因为 33， 1，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 P1 AP= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17
16、 【正确答案】 【试题解析】 设矩阵 A 的特征值 1=1 和 2 对应的特征向量分别为 1=(1，一 1)T和 2=(x1，x 2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵 Q，使得 Q1 AQ=。而相似矩阵的行列式相等，所以一 2=A = =2，即 2=一 2。又实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1T2=0，即 x1 一x2=0。方程组 x1 一 x2=0 的基础解系为 2=(1，1) T。令 Q=(1， 2)= ，则【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 AA *=AE= 一 E。对于 A*=0，用
17、 A 左乘等式两端，得0A=一 ，即 ，由此可得(1)一(3)得 0=1。将 0=1 代入(2)和(1)，得 b=一 3，a=c。由A=一 1 和 a=c，有 =a3=一1，即得 a=c=2。故 a=2，b=一 3，c=2， 0=1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A E)p=0，即 从而有方程组解得 a=一 3，b=0，且 p 所对应的特征值 =一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 A 的特征多项式AE= =一(+1)3，得 A 的特征值为 =一 1
18、(三重)。若 A 能相似对角化，则特征值 =一 1 有三个线性无关的特征向量，而 A+E= ，故 r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0 的基础解系只有一个解向量，A 不能相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为E 一 A= =(一2)(2 一 8+18+3a)。如果 =2是单根，则 2 一 8+18+3a 是完全平方，必有18+3a=16，即 a= 。则矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而 r(4EA)=2，故 =4只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化。 如果 =2是二重特征值，则将 =2代入 2 一 8+18
19、+3a=0 可得 a=一 2。于是 2 一 8+18+3a=( 一 2)(一 6)。则矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而 r(2EA)=l，故 =2有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为EA = =(+1)2(一 1)，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=1。矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值 =一 1 的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一 EA)x=0有两个线性无关的解向量，则 r(A+E)=1。对矩阵 A+E 作初等行变换得当 k=0 时，r(A+E)=1。此时，由(一
20、 E 一 A)x=0 解得属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量为 1=(一 1，2，0) T， 2=(1，0，2) T；由(EA)x=0 解得属于特征值 1 的特征向量为 3=(1，0，1) T。令可逆矩阵P=(1， 2， 3)，则 P1 AP= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 1， 2， 3 线性无关，则 1+2+30， 2 一 10， 3 一 10，且由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，A( 2 一 1)=一( 2 一 1)，A( 3 一 1)=一( 3 一 1)可知矩阵 A 的特征值为 2 和一 1。又由 1， 2，
21、 3 线性无关可知 2 一 1， 3 一 1 也线性无关，所以一 1 是矩阵 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为 2，一 1，一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，而( 1+2+3， 2 一 1， 3 一 1)=(1， 2， 3) =(1， 2， 3)P，且 p=30，所以 2 一 1， 3 一1， 1+2+3 线性无关，即矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以矩阵 A 可相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，即 解得 x1=2，x
22、2=一2，x 3=1，故 =2122+3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 A=2A 1 一 2A2+A3，则由题设条件及特征值与特征向量的定义可得 An=2An1 一 2An2+An3=21 一 22n2+3n3= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有则 =3是矩阵 A 的特征值，=(1，1，1) T 是对应的特征向量。对应 =3的全部特征向量为 k=k(1，1，1) T，其中 k 是不为零的常数。又由题设知A1=0，A 2=0，即 A1=0 1，A 2=0 2，而且
23、1， 2 线性无关，所以 =0是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0的全部特征向量为 k11+k22=k1(一 1，2，一 1)T+k2(0，一 1，1) T，其中 k1，k 2 是不全为零的常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。由施密特正交化法，取 1=1， 2=2 。再将， 1， 2 单位化，得令Q=(1， 2， 3)，则 Q1 =QT，且 QTAQ= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 设矩阵 A 的属于特征值 =1的特征向量为 x
24、=(x1，x 2，x 3)T。实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以 1Tx=0，即 x2+x3=0。方程组x2+x3=0 的基础解系为 2=(1，0，0) T， 3=(0，一 1，1) T。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 因 =5是矩阵 A 的特征值，则由5E 一A= =3(4 一 a2)=0，可得 a=2。当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式E 一 A = =(一 2)(一 5)(一 1)，矩阵 A 的特征值是1，2，5。由(E 一 A)x=0 得基础解系 1=(0，1，一 1)T；由(2E 一 A)x=0 得基础解系 2=(1，0， 0)T；由(5EA)x=0 得基础解系 3=(0，1，1) T。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
