1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同特征值是 A 与对角矩阵相似的（A）充分必要条件（B）充分而非必要的条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件2 设 A、B 都是 n 阶矩阵，则 A 与 B 相似的一个充分条件是（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） A 与 B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， n，且 1， ， n 互不相同3 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则（A）E-A=E-B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征
2、向量（C） A 和 B 都相似于同一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 都相似4 与矩阵 D= 相似的矩阵是二、填空题5 设 1=(1，0 ，-2) T 和 2=(2，3，8) T 都是 A 的属于特征值 2 的特征向量，又向量=(0，-3 ，-10) T，则 A=_.6 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，A 的特征值为 ，则行列式B -1-E= _7 设向量 =(1，0，-1) T，矩阵 A=T，a 为常数，n 为正整数，则行列式aE-An=_ 8 设可逆方阵 A 有一个特征值为 2，则( A2)-1 必有一个特征值为_9 设可逆方阵 A 有特征值 ，则(A *)2+E
3、必有一个特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 为可逆方阵 A 的特征值，且 x 为对应的特征向量，证明：(1)0；(2) 为A-1 的特征值，且 x 为对应的特征向量；(3) 为 A*的特征值，且 x 为对应的特征向量11 设 3 阶方阵 A 的特征值为 2，-1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A3-2A2+4E，试求 B-1 的特征值与特征向量12 已知向量 =(1，k，1) T 是 A= 的伴随矩阵 A*的一个特征向量，试求 k的值及与 对应的特征值 13 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为1=
4、 ， 2 ， 3= ，又向量 = (1)将 用 1， 2， 3 线性表出；(2)求 An(n为正整数)14 设矩阵 A= ，A=-1 ，A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为0，属于 0 的一个特征向量为 =(-1，-1，1) T求 a，b，c 和 0 的值15 已知 = 是矩阵 A= 的一个特征向量(1)试确定 a，b 的值及特征向量 所对应的特征值；(2) 问 A 能否相似于对角阵? 说明理由16 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的两个不同特征值，x 1，x 2 分别是属于 1， 2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量17 设 A= 有 3 个线性无关的特征向量，求 x 与
5、y 满足的关系18 设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为 1=(1，-1，1)T， 2=(1，0，-1) T， 3=(1，2，-4) T，求 A10019 设 3 阶矩阵 A 与对角阵 D= 相似，证明：矩阵 C=(A-1E)(A-2E)(A-3E)=O20 设矩阵 A= 相似 (1)求 a，b 的值；(2) 求一个可逆矩阵 P，使 P-1AP=B21 设 A= ，问当 k 取何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP 成为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵22 已知矩阵 A= 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的 2 重特征值试求可逆矩阵 P，使
6、P-1AP 成为对角矩阵23 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?24 设 n 阶矩阵 A0，存在某正整数 m，使 Am=O，证明：A 必不相似于对角矩阵25 设 A 为 3 阶矩阵，3 维列向量 ，A，A 2 线性无关，且满足 3A-2A2-A3=0，令矩阵 P=，A，A 2， (1) 求矩阵 B，使 AP=PB； (2)证明 A 相似于对角矩阵26 设 A 为 3 阶矩阵，A=6，A+E =A-2E=A+3E=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A) *是(2A)的伴随矩阵27 设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A-B，A 有 n 个互不相同的特征值1， 2， n，证
7、明： (1)i-1(i=1，2，n)； (2)AB=BA； (3)A 的特征向量都是 B 的特征向量； (4)B 可相似对角化28 设 A= 已知线性方程组 Ax= 有解但解不唯一试求：(1)a的值；(2)正交矩阵 Q使 QTAQ 为对角矩阵29 设矩阵 A= ，B=P -1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵30 设矩阵 A= 的特征值之和为 1，特征值之积为 -12(b0)(1)求 a、b的值；(2)求一个可逆矩阵 P，使 P-1AP=A 为对角矩阵31 设矩阵 A= 可逆，向量 = 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值其
8、中 A*是 A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值32 设 =(a1， 2，a n)T 是 Rn 中的非零向量，方阵 A=T(1)证明：对正整数m存在常数 t使 Am=tm-1A，并求出 t；(2) 求一个可逆矩阵 P，使 P-1AP=A 为对角矩阵33 设 n 阶矩阵 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使 P-1AP 为对角矩阵34 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(-1，2，-3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A的另一特征值和对应的特征向量； (2)
9、求矩阵 A35 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A1=1+2+3，A 2=22+3， 3=22+33 ()求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B； () 求矩阵 A 的特征值； () 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵36 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解，求出矩阵 A 及(A- E)6考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
10、正确答案】 B【试题解析】 当 Ann 有 n 个互不相同特征值时A 必相似于对角矩阵，但与对角矩阵相似的矩阵也可能存在重特征值例如单位矩阵 En 的特征值为1=2= n=1，而对任何 n 阶可逆方阵 P，有 P4EP=E 为对角矩阵所以(B)正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 当 N 阶方阵有 N 个互不相同特征值时，它必相似于对角矩阵故在选项(D)的条件下存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P-1AP=D，Q -1BQ=D，其中D=diag(1， 2， n)为对角矩阵故有 P-1AP=Q-1BQ， QP-1APQ-1=B，(PQ) -1A(PQ-1)=B，
11、记矩阵 M=PQ-1，则 M 可逆，且使 M-1AM=B，所以在选项(D)的条件下， A 与 B 必相似【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 当 A 与 B 相似时，有可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B，即 tE-A 与 tE-B 相似，故选项 (D)正确实际上，若 A 与 B 相似，则对任何多项式 f，f(A)与 f(B)必相似【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 D 相似 A 的特征值为 1=2=1， 4=2，且 A 的对应于 2 重特征值 1 的线性
12、无关特征向量的个数为 2后一条件即方程组(E-A)x=0 的基础解系含 2 个向量，即 3-r(E-A)=2或 r(E-A)=1，经验证，只有备选项(C)中的矩阵满足上述要求【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 (0，-6 ，-20) T【试题解析】 因 =21-2，故 也是 A 的属于特征值 2 的特征向量，所以，A=2=(0，-6，-20) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 24【试题解析】 B 的特征值为 ，B -1 的特征值为 2，3，4，5，B -1-E 的特征值为 1，2，3，4，由特征值的性质得B -1-E=1.2.3.4=24【知
13、识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 a 2(a-2n)【试题解析】 A n=(T)(T)( T)=(T)( T)T=2n-1T= ，aE-A n= aE-A=a(a-2 n-1)2-22(n-1)=a2(a-2n)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 【试题解析】 A2 有特征值 有特征值 .【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 【试题解析】 +1，A *有特征值 ，故(A *)2+E 有特征值 +1.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 若 =0，则有0E-A=0 ，即(-1)
14、nA=0， A =0，这与A 可逆矛盾，故必有 0；由 Ax=x 两端右乘 A-1，得 A-1x=x，两端同乘 ，得A-1x= x，故 为 A-1 的一个特征值，且 c 为对应的特征向量；因 A-1=AA *，代入 A*x= x，得 A*x= 为 A*的一个特征值且 x 为对应的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 B=f(A) ，其中 f(x)=x3-2x2+4由 A1=21，两端左乘 A，得A21=2A1，将 A1=21 代入，得 A21=221=41，类似可得A21=231=81， B1=(A3-2A2+4E)1=A31-2A21+41=231-2.221+41
15、=(23-2.22+4)1=f(2)1=41，类似可得 B2=f(-1)2=2，B 3=f(0)3=43，所以，B 的特征值为4，1，4，对应特征向量分别为 1， 2， 3因为 1， 2， 3 线性无关，所以矩阵P=1， 2， 3可逆，且有 P-1BP= 为对角矩阵，两端取逆矩阵，得 P-1B-1P= ，由此知 B-1 的特征值为 ，对应特征向量分别为1， 2， 3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 已知 A*=，两端左乘 A，并利用 AA*=AE=4E，得A=4，即 ，对比两端对应分量得 由此解得 k=1， =1，或 k=-2，=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13
16、 【正确答案】 (1)设 =x11+x22+x33，得线性方程组 ，解此方程组得 x1=2，x 2=-2，x 3=1，故 =21-22+3(2)A n=An(21-22+3)=2An1-2An2+An3，由于 Ai=ii，A ni=inini，i=1 ，2， 3 故 An=21n1-22n2+3n3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 已知 A*=0，两端左乘 A并利用 AA*=AE=-E，得-=0A，即 由此解得 0=1，b=-3，a=c再由 A=-1 和 a=c，有 =a-3=-1， a=c=2因此 a=2，b=-3 ，c=2， 0=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
17、15 【正确答案】 (1)由(E-A)= =0即，解得 a=-3，b=0，=-1(2)A= 的特征值为1=2=3=-1，但矩阵-E-A= 的秩为 2，从而与 =-1 对应的线性无关特征向量(即 A 的线性无关特征向量)只有 1 个，故 A 不能相似于对角阵或用反证法：若 A 与对角阵 D 相似，则 D 的主对线元素就是 A 的全部特征值，即 D=-E，于是若存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=D=-E，则 A=P(-E)P-1=-E，这与 A-E 发生矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 用反证法：若 x1+x2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量则有A(x1+x2)=0
18、(x1+x2)，即 Ax1+Ax2=0x1+0x2，因 Axi=Aixi(i=1，2)，得( 1-0)x1+(2-0)x2=0，由于属于不同特征值的特征向量 x1 与 x2 线性无关，得 1-0=0=2， 0， 1-2，这与 12 发生矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=1， 3=-1，由题设条件 A 有 3 个线性无关特征向量，知 A 的属于特征值 1=2=1 的线性无关特征向量有 2 个 齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3-r(E-A)=2 r(E-A)= x+y=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答
19、案】 因 1， 2， 3 线性无关，故 A 相似于对角阵，令 P=1， 2， 3，则有 P-1AP= P-1=PEP-1=E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 由条件知，存在可逆矩阵 P，使 A= P-1，故同理有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 (1)由条件有E-A =E-B，即 (-2) 2-(3+a)+3a-3=(-a)2(-6)得 a=5，b=6亦可直接利用特征值的性质，得 ，解得 a=5，b=6(2)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由E-A=(+1)2(-1)=0，得 A 的全部特征值为 1=2=-1， 3=1故 A
20、可对角化 A 的属于 2 重特征值 1=2=-1 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(-E-A)x=0 的基础解系含 2 个向量3-r(-E-A)=2 =0当 k=0 时，可求出 A的对应于特征值-1，-1 ；1 的线性无关特征向量分别可取为 1=(-1，2，0)T， 2=(1，0，2) T， 3=(1， 0，1) T，故令 P=1， 2， 3= ，则有 P-1AP=diag(-1， -1，1)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 r(2E-A)=1， x=2，y=-2；A 的特征值为 2，2，6P=，P -1AP= .【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答
21、案】 (1)是，因该方阵的特征值 1=1， 2=2， 3=3 互不相同；(2)因 A的特征值为 1=2=3=4=1，但 r(E-A)=2， A 的线性无关特征向量只有 2 个(或用反证法)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 可用反证法：设 为 A 的任一特征值，x 为对应的特征向量，则有 Ax=x， A2x=Ax=2x， Amx=mx，困 Am=O，x0，得 =0故 A 的特征值都是零，因此，若 A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=diag(0，0，0)=O，则 A=POP-1=O，这与 A0 矛盾【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 (
22、1)AP=A，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，3A-2A 2=，A，A 2 =PB，其中 B= .(2)由(1)有 AP=PB，因 P 可逆，得 P-1AP=B，即 A 与 B 相似，易求出 B 的特征值为 0，1，-3，故 A 的特征值亦为 0，1，-3，A 23 有 3 个互不相同特征值，因此 A 相似于对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由条件有，-E-A=(-1) 3E+A=0，2E-A=(-1) 3-2E+A=0 ，-3E-A=(-1) 33E+A =0， A 有特征值-1，2，-3，从而是 A 的全部特征值，A -1 的全部特征值为 而(2A)
23、 *=2A(2A) -1=23A A-1=24A-1， (2A)*=24A-1 的全部特征值为-24，12，-8，因 3 阶方阵(2A) *有 3 个互不相同特征值，故(2A) *可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 (1)即证-E-A 0，或E+A 0 或 E+A 可逆，这可由 AB=A-B (A+E)(E-B)=E， A+E 可逆，且(A+E) -1=E-B(2)由(1)的(A+E) -1=E-B， (A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)，即 A-AB+E-B=A+E-BA-B， AB=BA(3)设 x 为A 的属于特征值 i 的特征向量，则 Ax=ix，
24、两端左乘 B，并利用 BA=AB，得A(Bx)=i(Bx)，若 Bx0，则 Bx 亦为 A 的属于 i 的特征向量，因属于 i 的特征子空间是一维的，故存在常数 ，使 Bx=x，因此 x 也是 B 的特征向量；若 Bx=0，则 Bx=0x，x 也是 B 的属于特征值 0 的特征向量(4)由条件知 A 有 n 个线性无关的特征向量，于是由(3)知 B 也有 n 个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 a=-2，Q= ，Q -1AQ=Q-1AQ=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=1， 3=7，
25、A 的对应于特征值 1 的线性无关特征向量可取为 1=(-1，1，0) T， 2=(-1，0，1) T；对应于特征值 7 的特征向量可取为3=(1，1，1) T由 A 的特征值得 A*的特征值为 7，7，1， B 的特征值为7，7，1， B+2E 的特征值为 9，9，3，且对应特征向量分别可取为 P-11=(1，-1，9) T，P -12=(-1，-1，1) T，P -13=(0，1，1) T，故对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1(1，-1 ， 0)T+k2(-1，-1，1) T，对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3(01，1)T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】
26、 由 1+2+3=a+2+(-2)=1， 123=A=2(-2a-b 2)=-12，解得a=1，b=2P= ，可使 P-1AP= .【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆，于是有 0，A 0由题设，有A*=，两端左乘 A 并利用 AA*=AE，得A=A，或 A=，解得a=2，b=1 或 b=-2，将 a=2 代人矩阵 A 得A=4，于是得 ，所以，a=2，b=1，=1；或 a=2， b=-2，=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 (1)A m=(T)(T)( T)=(T)m-1T=(T)m-1(T)=( ai2)m-1A=tm-1
27、A，其中 t= ai2(2)AO， 秩(A)=秩( T)秩()=1， 秩(A)=1，因实对称矩阵 A 的非零特征值的个数等于它的秩，故 A 只有一个非零特征值，而有 n-1 重特征值 1=2= n-1=0设 a10，由 0E-AA=，得属于特征值 0 的特征值可取为：1= 由特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 0+0+0+ n= a12，得 n= ai2=T，由 A=(T)=(T)=n=n 及 0，得与 n 对应特征向量为 ，令P=1， 2， n-1，则有 P-1AP=diag(0，0，0， ai2)为对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量33 【正确答案】 (1)1当 b0 时，
28、E-A= =-1-(n-1)b-(1-b)n-1故 A 的特征值为 1=1+(n-1)n， 2= n=1-b 对于 1=1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 1=1+(n-1)b1 解得1=(1，1，1) T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1=k(1，1，1) T，其中k 为任意非零常数 对于 2= n=1-b，解齐次线性方程组(1-b)E-Ax=0，由解得基础解系为2=(1，-1，0，0) T， 3=(1，0，-1，0) T， n=(1，0，0，-1) T故属于 2= n 的全部特征向量为 k 22+k33+knn，其中 k1，k 2，k n 为不全为零的任意常数2 当
29、b=0 时，A=E，A 的特征值为 1=2= n=1，任意 n 维非零列向量均是特征向量(2)1当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵P=1， 2， n，则有 P -1AP=diag(1+(n-1)b，1-b，1-b)2 当 b=0 时，A=E，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P-1AP=E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量34 【正确答案】 (1)因为 1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量由 r(A)=2
30、 知A=0，所以A 的另一特征值为 3=0设 3=0 对应的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则有iT=0(i=1， 2)，即 解得此方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T，即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(-1，1，1) T(k 为任意非零常数)(2) 令矩阵 P=1， 2，则有 P-1AP= ，所以 A=P P-1，计算可得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量35 【正确答案】 () 由题设条件，有 A( 1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(1+2+3， 22+3，2 2+33)=(1， 2， 3) 所以，B= .()因为1， 2， 3 是线性无关的
31、三维列向量可知矩阵 C=(1， 2， 3)可逆，所以由AC=CB，得 C-1AC=B，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值由E-B= =(-1)2(-4)=0 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=4()对应于 1=2=1，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系 1=(-1，1，0) T， 2=(-2，0，1) T；对应于 3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系 3=(0，1，1) T 令矩阵 Q=(1， 2， 3)=则有 Q -1BQ= 因 Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵P=CQ=(1， 2， 3) =(-1+2，-2 1+3， 2+3)则有 P-1AP=Q-1BQ=diag(1，1，4) ，为对角矩阵，故 P 为所求的可逆矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量36 【正确答案】 A=QAQ T= E)QT，从而有(A- E)6=Q(A- E)6QT=( )6E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
