1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 那么矩阵 A 的三个特征值是 ( )（A）1，0，一 2（B） 1，1，一 3（C） 3，0，一 2（D）2，0，一 32 已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（A）AE（B） 2AE（C） A+2E（D）A 一 4E3 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（A）A T（B） A2（C） A-1（D）AE 4 已知 a=(1，一 2，3) T 是矩阵
2、的特征向量，则 ( )（A）a= 一 2，b=6（B） a=2，b=一 6（C） a=2，b=6（D）a= 一 2b=一 65 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中(1)A 2(2)P -1AP(3)A T(4) 肯定是其特征向量的矩阵共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（D
3、）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量7 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而A3=3A 一 2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量是( )（A）（B） A+2（C） A2 一 A（D）A 2+2A 一 38 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1,2,3，若P=(1，2 3，一 2)，则 P 一 1AP=( )（A）（B）（C）（D）9 已知 1 是矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵A 属于特征值 =5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1，一 2，
4、3)（B） (1， 2+3， 2 一 23)（C） (1， 3， 2)（D）( 1+2， 12， 3)10 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） 一 1A n（B） 一 1A（C） A（D）A二、填空题11 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为一 2，1，1，且 B 与 A 相似，则2B =_12 设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A 一 1 一E=_13 设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1,2,3，令P=(33， 1，2 2)，则 P 一 1AP
5、=_14 已知 A 有一个特征值一 2，则 B=A2+2E 必有一个特征值是_15 设 A 是 n 阶矩阵，=2 是 A 的一个特征值，则 2A2 一 3A+5E 必定有特征值_16 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_17 已知 A*是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_18 矩阵 的三个特征值分别为_19 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1， 2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=(1，2，1) T， 2=(1，一 1，1) T，则特征值 2 对应的特征向量是_20 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的
6、2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_21 设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是一 3，则矩阵 必有一个特征值为_22 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_23 设 =(1，一 1，a) T 是 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中 r(A*)=3，则 a=_24 已知矩阵 的特征值的和为 3，特征值的乘积是一 24，则b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为求 A26 设矩阵 求 B+2E 的特征值与特征向量，其
7、中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵27 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=2， 2=一 2， 3=1；对应的特征向量依次为求 A28 设 A2 一 3A+2E=O，证明：A 的特征值只能取 1 或 228 设=(a 1，a 2，a n)T，a 10，A=aa T，29 证明 =0 是 A 的 n 一 1 重特征值；30 求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量31 已知 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=A31 设 A 为 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A
8、 3=22+3332 求矩阵 A 的特征值；33 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=A34 设矩阵 A 与 B 相似，且 求可逆矩阵 P，使得P 一 1AP=B35 设 A，B，C 是 n 阶方阵，满足 r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T 一 2E)=O证明：AA，并求 A 及A35 设 A，B 是 n 阶矩阵，A 有特征值 =1，2，n证明：36 AB 和 BA 有相同的特征值，且 ABBA；37 对一般的 n 阶矩阵 A，B，是否必有 ABBA?38 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求
9、秩 r(A+E)39 设 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，且 A1=1 一2+33，A 2=4132+53，A 3=0求矩阵 A 的特征值和特征向量40 设 A 是 n 阶矩阵，A=E+xy T，x 与 y 都是 n1 矩阵，且 yTx=2，求 A 的特征值、特征向量考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据特征值的性质： i=ii 现在a ii=1+(一 3)+1=一 1，故可排除选项 C显然，矩阵 A 中第 2、3 两列成比例，易知行列式A=0
10、，故 =0 必是A 的特征值，因此可排除选项 B对于选项 A 和选项 D，可以用特殊值法，由于说明 =1 不是 A 矩阵的特征值故可排除选项 A所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1、一 1、2、4，所以 A*=一 8，又因为A *=A n-1，即 A 3=一 8，于是A= 一 2那么，矩阵 A 的特征值是：因此，AE 的特征值是 因为特征值非 0，故矩阵 AE 可逆同理可知矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 由于E A
11、T= (E 一 A)T=EA ，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值由 A=A，0 可得到：A 2=2，A -1=-1，(AE)=( 一 1)，说明 A2、A 一 1、AE 与 A 的特征值是不一样的(但A 的特征向量也是它们的特征向量)所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有所以 =一 4，a=一2，b=6，故应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=，0，有 A2=A()=A=2，0，即 必是 A2 属于特征值 2 的特征向量
12、又 知 必是矩阵属于特征值 的特征向量关于(2)和(3)则不一定成立这是因为 (P 一1AP)(P 一 1A)=P 一 1A=P 一 1，按定义，矩阵 P 一 1AP 的特征向量是 P 一 1因为 P 一 1 与 不一定共线，因此 不一定是 P 一 1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的线性方程组(EA)x=0 与 (E 一 AT)x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，0那么 ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向
13、量由于(E 一 A)x=0 与(E 一 AT)x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量例如 上例还说明当矩阵A 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A的特征向量所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2 一 3A=0故(A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A2 一 A)，因为 ，A ，A 2 线性无关，那么必有 A2 一 A0，所以 A2 一 A 是矩阵A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特
14、征向量8 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32，有 A(一 2)=3(一 2)，即当 2 是矩阵 A 属于特征值=3 的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 =一 2 的特征向量当 P 一 1AP=A 时，P 由 A 的特征向量所构成，A 由 A 的特征值所构成，且 P 与 A 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，一 2，故对角矩阵 A 应当由 1，3，一 2 构成，因此排除选项B、C由于 23 是属于 =一 2 的特征向量，所以一 2 在对角矩阵 A 中应当是第 2列，所以应选 A【知识模块】 矩阵的特
15、征值和特征向量9 【正确答案】 D【试题解析】 若 P=(1,2,3)，则有 AP=PA即(A1,A2,A3)=(11， 22， 33)可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1,2,3 线性无关若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 2+3，仍是属于特征值 A 的特征向量本题中， 2，吧是属于 =5 的线性无关的特征向量，故 2+3， 2 一 23 仍是 =5 的特征向量，并且2+3， 2 一 23 线性无关，故选项 B 正确对于选项 C，因为 2， 3 均是 =
16、5 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确故选项 C 正确由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选项 D错误所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 Ax=Ax上式两边左乘 A*，并考虑到 A*A= AE 得 A *Ax=A*(x)即 Ax=A *x，从而 可见 A*有特征值 所以应选B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题11 【正确答案】 一 16【试题解析】 因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行
17、列式等于特征向量的乘积，因此有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 3【试题解析】 根据已知条件 A 的特征值为 1，2， 2，A 一 1 的特征值为 ，因此进一步可得 4A 一 1 一 E 的特征值为 3，1，1，所以 4A 一 1 一 E=311=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 【试题解析】 因为 33， 1，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 6【试题解析】 因为 =一 2 是 A 的特征值，所以根据特征值的性质， 2+2=(一 2)2+2=6 是 B=A2+2E
18、 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 7【试题解析】 如果 是 A 的一个特征值， 是对应于 的一个特征向量，则A=，因此有 A2=A()=A=2因此可知(2A 2 一 3A+5E)=2A2 一3A+5=(22 一 3+5)，所以 222 一 32+5=7 一定是 2A2 一 3A+5E 的一个特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足 故矩阵 A 一定有一个特征值为 5【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 根据矩阵 A 的特征多项式可
19、得矩阵 A 的特征值为 7，1，1又因为A= i，可得A=7因为如果 A=，则有，因此 A*的特征值是 1，7，7【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 【试题解析】 所以 A 的特征值为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 t(一 1，0，1) T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有 所以可知 x1=一t，x 2=0，x 3=t所以对应于特征值 2 的特征向量是 t(一 1，0，1) T，t0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设
20、条件，得记 P=(1， 2)，因1， 2 线性无关，故 P=(1， 2)是可逆矩阵因此则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值因为 所以 =0，=1故 A 的非零特征值为 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵特征值的特点，A 有特征值一 3，所以 有特征值有特征值 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以 T=(T)=2，故 T 的非零特征值为 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 一 1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=0，该等式两端同时左乘
21、 A，即得 AA*=A= 0A，即展开成方程组的形式为 因为r(A*)=3，A *0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 =一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 一 3【试题解析】 已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此+3+(一 1)=i=3，所以 a=1又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有 所以 b=一 3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 假设对应于 2=3=1 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，根据题设，A 为实对称矩阵，因此 T1=0
22、，即 x2+x3=0，解得 2=(1，0，0) T， 3=(0，1，一 1)T又由 A(1， 2， 3)=(11， 22， 33)，故有 A=(11， 22， 33)(1， 2， 3)一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=由于A=70 ，所以 0又因 A*A=AE，故有 于是有因此， 为 B+2E 的特征值,对应的特征向量为 P 一 1 故 A 的特征值为 1=2=1， 3=7当 1=2=1 时，对应线性无关的两个特征向量可取为当 3=7 时，对应的一个特征向量可取为因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3对应于特
23、征值 9 的全部特征向量为，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 其中 k3 是不为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为 A 的特征值互异，故 p1，p 2，p 3 线性无关，令P=(p1，p 2，p 3)，P 是可逆矩阵，则 从而 A=PAP 一 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 设 是矩阵 A 的特征值，非零向量 x 是矩阵 A 对应于 的特征向量，则(A 2 一 3A+2E)x=2x 一 3x+2x=(2 一 3+2)x=0，由于 x0，则 2 一3+2=0，即 =1 或 =2故矩阵 A
24、的特征值只能取 1 或 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 A 为对称阵，故 A 与对角阵 A=diag(1， 2， n)相似，其中1， 2， n 是 A 的全部特征值因为 A=T 且 a10，所以 r(A)=1，从而 r(A)=1，于是 A 只有一个非零对角元，即 =0 是 A 的 n1 重特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 设 1=aTa， 2= n=0因为 Aa=aaTa=(aTa)a=1a，所以 p1=a 是对应于 1=aTa 的特征向量对于 2= n=0，解方程 Ax=0，即 aaTx=0已知a0，因
25、此 aTx=0，即 a1x1+a2x2+anxn=0，所以其余 (n 一 1)个线性无关特征向量为 p 2=(一 a2，a 1，0，0) T， p 3=(一 a3，0，a 1，0) T， p n=(一an，0，0， ，a 1)T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 A 的特征多项式为：则 A 的特征值为 1=2n 一 1， 2=n 一1，其中 n 一 1 为重根当 1=2n 一 1 时，解齐次方程组( 1EA)x=0，对系数作初等变换，有 得到基础解系 3=(1， 1，1) T当 2=n 一 1 时，齐次方程组 (2EA)x=0 等价于x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=
26、(一 1，1，0，0) T， 3=(一 1，0，1，0)T， ， n=(一 1，0，0，1) T则 A 的特征向量是：k 11 和k22+k33+knn【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 由已知可得由于 1,2,3线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以 P1 一 1AP1=B，因此矩阵 A 与 B 相似，则矩阵 B 的特征值是 1，1，4，由相似矩阵的性质，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量33 【正确答案】 由(E 一 B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1=(一1，1，0) T， 2
27、=(一 2，0，1) T；由(4E 一 B)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量3=(0，1，1) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量34 【正确答案】 由于 AB，则有， 于是得a=5，b=6且由 A 一 B，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是1=2=2， 3=6当 =2 时，解齐次线性方程组(2E A)x=0 得到基础解系为1=(1，一 1， 0)T， 2=(1，0，1) T，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量当=6 时，解齐次线性方程组(6EA)x=0 ，得到基础解系是 (1，一 2，3) T，即属于=6 的特征向量那么，令 ，则有 P 一 1AP=B【知识
28、模块】 矩阵的特征值和特征向量35 【正确答案】 由已知条件，r(C)+r(B)=n，(A+E)C=O，B(A T 一 2E)=O若 r(C)=n，则 r(B)=0，在(A+E)C=O 两边右乘 C 一 1，得 A+E=0，即 A=一 E故 AA=一 E若 r(B)=n，则 r(C)=0，在 B(AT 一 2E)=O 两边左乘 B 一 1，得 AT 一 2E=O，即 AT=2E故 A=(2E)T=2EA=2E若 r(C)=r，rn ，r0，则 r(B)=nr将矩阵 C进行列分块，方程组(A+E)x=0 至少有 r 个线性无关解向量，即 A 有特征值 =一1，且至少是 r 重根对 B(AT 一
29、2E)=O 两边转置，可得 (A 一(2E) T)BT=(A 一 2E)BT因 r(BT)=r(B)=n 一 r，那么将 BT 进行列分块，则方程组 (A 一 2E)x=0 至少有nr 个线性无关解，即 A 有特征值 =2，且至少有 nr 重根因 r(B)+r(C)=n，故=一 1 是 r 重特征值；=2 是 n 一 r 重特征值，且 A 有 n 个线性无关特征向量故AA，其中 综上可知，A=A=(一 1)r2n-r【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量36 【正确答案】 由题意可知，A=n!0，故 A 可逆则有E AB=A(A 一 1 一 B=AEBAA 一
30、 1E 一 BA即 AB 和BA 有相同的特征多项式，故 AB 和 BA 有相同的特征值若取可逆矩阵 P=A，则有 P 一 1ABP=A 一 1ABA=BA，故 ABBA【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量37 【正确答案】 对一般的 n 阶矩阵 A，B，有 ABBA易知，r(AB)=0，r(BA)=1，因此 ABBA【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量38 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，则A=(0)，于是 An=n 那么用 右乘 A4+2A3+A2+2A=0，得( 4+23+2+2)=0因为特征向量 0，故 4+23+2+2=(3+22+2)=(+2
31、)(2+1)=O由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或一 2由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2因 AA，则有 所以 r(A+E)=r(A+E)=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量39 【正确答案】 由 A3=0=03，知 =0 是 A 的特征值， 3 是 =0 的特征向量由已知条件有 A(1， 2， 3)=(1 一 2+33，4 1 一 32+53，0)，记 P=(1,2,3)，由 1,2,3 线性无关，故矩阵 P 可逆，因此有 P 一 1AP=B，其中 B= 因此 AB因为相似矩阵有相同的特征值，
32、而矩阵 B 的特征多项式 所以矩阵 B 也即 A的特征值为一 1，一 1，0对于矩阵 B， 所以矩阵 B 对应于特征值 =一 1 的特征向量是 =(一 2，1，1) T，若 B=，则有(P一 1AP)=，即 A(P)=(P)，那么矩阵 A 关于特征值 =一 1 的特征向量是因此 k1(一 21+2+3)，k 23 分别是矩阵 A 关于特征值 =一 1 和 =0 的特征向量(k 1，k 20)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量40 【正确答案】 令 ，则 B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见 B 的特征值只能是 0 或 2因为则 r(B)=1，故齐次方程组 Bx=
33、0 的基础解系由 n 一 1 个向量组成，且基础解系是： 1=(一 y2，y 1，0，0) T， 2=(一y3，0，y 1，0) T， n-1=(一 yn，0，0， y1)T这正是 B 的关于 =0 也是A 关于 =1 的 n1 个线性无关的特征向量由于 B=2B，对 B 按列分块，记B=(1， 2， n)，则 B(1， 2， n)=2(1， 2， n)，即 Bi=2i，可见=(x2， x2， ，x n)T 是 B 关于 =2，也就是 A 关于 =3 的特征向量那么 A 的特征值是 1(n 一 1 重) 和 3，特征向量分别是 k11+k22+kn-1n-1，k nn，其中k1，k 2，k n-1 不全为 0，k n0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
