1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆； (A 一 B 恒可逆。上述命题中，正确的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。2 设 A=E 一 T，其中 =(x1,x2 ,xn)T，且有 T=1。则 A 是对称矩阵； A2是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。3 设 A 为正交矩阵
2、，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是 ( )（A）A T。（B） A2。（C） A*。（D）2A。4 设 A 为 n 阶可逆矩阵，且 n2，则(A -1)*=( )（A）AA 一 1。（B） AA。（C） A 一 1A 一 1。（D）A 一 1A。5 设 A 是三阶矩阵，其中 a110，A ij=aij(i=1，2，3，j=1 ，2，3)，则2A T=( )（A）0（B） 2（C） 4（D）86 设 则 B=( )（A）P 1P3A。（B） P2P3A。（C） AP3P2。（D）AP 1P3。7 设 则必有( )（A）AP 1P2=B。（B） AP2P1=B。（C） P1P2A=B。（D）P 2P
3、1A=B。8 设 ，那么(P 一 1)2010A(Q2011)一 1=( )（A）（B）（C）（D）9 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得到矩阵 B，再将 B 的第一列的一1 倍加到第二列得到矩阵 C。记 则( )（A）C=P 一 1AP。（B） C=PAP 一 1。（C） C=PTAP。（D）C=PAP T。10 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中不一定成立的是 ( )（A）若A0，则B0。（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得朋=E。（C）如果 A 与 E 合同，则B0。（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B。二、填空题11 设 A*为 A 的伴随矩
4、阵，则(A *)-1=_。12 设 =_。13 设矩阵 A 的伴随矩阵 则 A=_。14 已知三阶矩阵 A 的行列式A=一 3，A *为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵。如果 kA 的逆矩阵为 ，则 k=_。15 已知 ABC=D，其中 ，则B*=_.16 已知 矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_。17 已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，一 1)T， 3=(一 1，1，0) T，且 A1=(2，1)T， A2=(一 1，1) T，A 3=(3，一 4)T，则 A=_。18 设三阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA
5、，且 则B=_。19 设三阶方阵 A，B 满足 A-1BA=6A+BA，且 则B=_。20 已知 且 A2 一 AB=E，其中 E 是三阶单位矩阵，则B=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。已知三阶矩阵 A 和三维向量x，使得 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax 一 2A2x。21 记 P=(x，Ax ，A 2x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP-1；22 计算行列式A+E。23 设 其中 aj0，i=1，2，n，求 A-1。23 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中
6、 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。24 计算并化简 PQ；25 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA 一 1b。25 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：26 若A=0，则A *=0 ；27 A *= A n 一 1。28 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，证明：(A *)T=(AT)*。29 设 A 为 n 阶方阵，且 n2 0 证明：A *=(一 A)*。30 已知 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，证明：(I)aij=Aij ATA=E，且A=1；(II)a ij=一 Aij ATA=E，且A
7、 = 一 1。31 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA 一 1=BA 一 1+3E，其中 E 为四阶单位矩阵，求矩阵 B。32 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*=diag(1，1，1，8)，且 ABA 一 1=BA 一 1+3E，求 B。33 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 求矩阵 B。考研数学二（矩阵）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B，有(A E)B=A。若 A 可逆，则 f(AE)B=AEB=A0，所以B0，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。同命题类似，由 B 可逆可得
8、出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题正确。因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题 正确。对于命题，用分组因式分解，即 AB 一 A 一 B+E=E，则有(AE)(B 一 E)=E，所以得AE 恒可逆，命题 正确。所以应选 D。【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2T)T=ET 一(2 T)T=E 一 2T=A，成立。A 2=(E 一2T)(E 一 2T)=E 一 4T+4TT=E 一 4T+4(T)T=E，成立。由、 ，得A2=AAT=E，故 A 是正交矩阵，成立。由知正交矩阵是可逆矩阵，且 A-1=AT，
9、成立。故应选 D。【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 为正交矩阵，所以 AAT=ATA=E，且A 2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。事实上，由 AT(AT)T=ATA=E，(A T)TAT=AAT=E，可知 AT 为正交矩阵。由 A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A 2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知 A2 为正交矩阵。由 A*=AA -1= A AT，可得 A*(A*)T=AA T(AA)= A 2ATA=A 2E=E，(A *)TAT=(AA)AA T=A 2AAT=A 2E=E，故 A*为正
10、交矩阵。【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 根据伴随矩阵的定义可知 (A -1)*=A T(A -1)-1=A -1A，故选 D。【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 2A T=2 3A T=8A，且由已知故 A*=AT。又由 AA*=AAT=AE，两边取行列式，得AA T=A 2= A2E= A 3，即 A 2(A 1)=0，又 a110，则A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故 A=1，从而2A T=8，所以应选 D。【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 A
11、P3P2，AP 1P3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得到 B。而 P2P3A 正是后者，所以应选 B。【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的凡阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这
12、两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确。【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为初等矩阵，因为 P-1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的第一、三两行，所以 P2010A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而(P -1)2010A=P2010A=A。又(Q 2011)-1=(Q-1)2011，且而 Q-1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以 A(Q-1)2011 表示把矩阵 A 第二列的各元素 2011 倍加到第一列相应元素上去，所以应选 B。【知识模块】 矩阵9 【正确
13、答案】 B【试题解析】 令 则 Q=P-1，P 是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则 B=PA；Q 是将单位矩阵第一列的一 1 倍加到第二列所得的初等矩阵，则 C=BQ；所以 C=PAQ=PAP-1。故选 B。【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 A【试题解析】 两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。当 A 可逆时，r(A)=n，所以 r(B)=n，即 B 是可逆的，故 B-1B=E，选项 B 正确。矩阵的合同是一种等价关系，若 A 与 E 合同，则 r(A)=r(E)=n，由选项 B 可知 C 项正确。矩阵 A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，选
14、项 D 正确。事实上，当A0(即 A 可逆) 时，我们只能得到B0(即 B 可逆)，故 A 项不一定成立。【知识模块】 矩阵二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 一 1 可得【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 A=1，B=(21)(31)(3 一 2)=2，所以 A，B 均可逆，则也可逆。由 A*A=AA*=AE 可得A *=A 2-1=1，同理可得B *= B 3-1=4且【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=AE 可得 A=A(A *)一 1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A *=一 8=A 3，因此A= 一 2，又【
15、知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 由A=一 3 可知，即 kA 的逆矩阵为。而(kA) 一 1=k 一 3A 一 1，所以【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 A=1，C=一 1，D=6，即矩阵 A，B，D 均可逆。由ABC=D 可得 B=A 一 1DC 一 1，且B =A 一 1DD 一 1=一 6 0 于是B*=BB 一 1=一 6(A 一 1DC 一 1)一 1=一 6(C 一 1A)【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=AE 代入已知矩阵方程，得AX=E+2AX，移项可得(AE 一 2A)X=E，因此 X=(A
16、E 一 2A)一 1。已知A=4，所以【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A(1,2,3)=(A1,A2,A3)= ，那么【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 在等式 A 一 1BA=6A+BA 两端右乘 A 一 1，可得 A 一 1B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(E 一 A)B=6A，即 B=6(EA)一 1A，且【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 将 A 一 1BA=6A+BA 变形可得(A 一 1 一 E)BA=6A，即 B=6(A 一 1 一 E)一 1。又因为 所以【知识模块】 矩阵20
17、【正确答案】 【试题解析】 A=一 10，在等式 A2 一 AB=E 两边同时左乘 A 一 1 得 AB=A一 1，则【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 令等式 A=PBP-1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即A(x，Ax ，A 2x)=(Ax，A 2X，A 2X)=(Ax，A 2X，3Ax 一 2A2X)【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由(I)知 AB，那么 A+EB+E，从而【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 令 由分块矩阵的逆可得【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由 AA*=A*A
18、=AE 及 A*=A A -1 有【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b 一 TA-1)。由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b TA-10，即 TA-1b。【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 (反证法)假设A *0，则有 A*(A*)-1=E。又因为 AA*=AE，且A=0，故 A=AE=AA*(A*)-1=AE(A *)-1=0，所以 A*=O。这与A *0 矛盾，故当A=0 时，有 A*=0 。【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 由于 AA*=AE ，两端同时取行列式得 AA *=
19、A n。 当 A0 时，A *= A n-1；当A=0 时，A *=0。 综上，有A *= A n-1 成立。【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 因为 A 可逆，所以A=A T，且 AA-1=E。 在 AA-1=E 两边同时取转置可得(A -1)TAT=E，即(A T)-1=(A-1)T，所以 (A*)T=(AA -1)T=A (A -1)T= AT(A T)-1=(AT)*。【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 方设 A=(aij)，A中元素 aij 的代数余子式为 Aij，则A中一 aij 的代数余子式 Bij=(一 1)n-1Aij。于是，(一 A)*=(一 1)n-1A*。所以(一
20、A)*= (一 1)n-1A*=(一 1)n-1nA *=A *。【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 (I)当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=A*A=AE 。由于 A 为 n 阶非零实矩阵(a ij 不全为零)，所以 ，而 tr(ATA)=tr(A E)=nA，故A0.在 ATA=AE 两边取行列式，得A n-2=1，从而A=1。反之，若 ATA=E 且A=1 ，则 A*A=AE=A TA，于是 AT=A*，即 aij=Aij()当 aij=一 Aij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=一 A*A=一A E，此时nA=tr( 一 ATA)=一 ，即A0.即 ATA=一AE
21、 两边取行列式，得A= 一 1。反之，若 ATA=E 且A= 一 1，则 A*A=AE= 一 E=一ATA=(一 AT)A，于是 AT=一 A*，即 aij=一 Aij。 【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE，知A *=A n-1，因此有8=A *= A 3，于是A=2。在等式 ABA-1=BA-1+3E 两边先右乘 A，再左乘A，得 2B=A*B+3A*A，即 (2EA*)B=6E。于是【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 在 A*= AA -1 两端取行列式可得A *=A 4A -1= A 3，因为 A*=diag(1，1，1，8)，所以A *=8，即A=2。由 ABA-1=BA-1+3E 移项并提取公因式得，(A 一 E)BA-1=3E，右乘 A 得(AE)B=3A，左乘A-1 得(EA -1)B=3E。由已求结果A=2，知【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 A=一 2，利用恒等式 AA*=AE，在等式 A*BA=2BA 一8E 两边同时左、右分别乘 A、A -1 得AB=2AB 一 8E，移项合并得(A+E)B=4E，则【知识模块】 矩阵
