1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B、AB、A -1B -1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1B -1)-1 等于 【 】（A）A -1B -1（B） AB（C） A(AB) -1B（D）(AB) -12 设 n 维行向量 ，矩阵 AI T，BI2 T，其中 I 为 n 阶单位矩阵，则 AB 【 】（A）0（B） I（C） I（D）I T3 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE ，则成立 【 】（A）ACBE（B） CBAE（C） RACE（D）BCAE4 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A*，
2、且Aa0，则A * 【 】（A）a（B）（C） an-1（D）a n5 设 则成立 【 】（A）AP 1P2B（B） AP2P1 B（C） P1P2A B（D）P 2P1AB6 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 【 】（A）ab 或 a2b0（B） ab 或 a2b0（C） ab 且 a2b0（D）ab 且 a2b07 已知矩阵 A 相似于矩阵 B 则秩(A2E)与秩(A E)之和等于 【 】（A）2（B） 3（C） 4（D）58 设矩阵 A(a ij)33 满足 A*A T，若 a11，a 12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 等于 【 】（A）（B） 3（C）（
3、D）二、填空题9 设 ，则铁(AB)_10 设 A ，BO，满足 BAO,则 t_11 设 A 矩阵 B 满足 A2AB2B4E，则 B_12 设 n(n3)阶方阵 A 的秩为 n1，则 a_13 设 A 的伴随矩阵为 A*，且 A*BA2BA8E，则矩阵B_ 14 设 A ，n2 为正整数，则 An2A n-1_15 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则 A 的伴随矩阵 A*的秩为_16 设 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为A2，B3，A *为 A 的伴随矩阵，则行列式2A *B-1_17 设 A ，则(A2E) -1_18 _19 设 A 其中 ai0，b i0(i1，2，n)，则秩(A)
4、_20 设 A、B 为 3 阶方阵 且 A-1BA6ABA，则矩阵B_ 21 设矩阵 A 满足 A2A4EO，其中 E 为单位矩阵，则(AE) -1_22 设 n 维向量 (a，0， ，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵AE T，BE T，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a_23 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知AB2AB ，B ，则(AE) -1_24 设 3 阶方阵 A 按列分块为 A 1 2 3，已知秩(A)3，则 3 阶方阵B 12 2 3 21(2 a) 23 3 313 2的秩_25 设矩阵 则 B 的伴随矩阵B*_26 设 A ，BP -1AP 其中
5、 P 为 3 阶可逆矩阵，则B2004 2A2_27 设 A(a ij)33 是实正交矩阵，且 a111，b(1，0，0) T，则线性方程组 Ab的解是_28 已知 1， 2 均为 2 维向量，矩阵 A2 1 2， 1 2， 1， 2，若行列式A6，则B_，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 设 B 是元素全为 1 的，n 阶方阵(n2)，证明： (EB) -1E B30 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2E，B 2E，A B 0，证明：AB031 设 A 为 n 阶方阵且 AATE，A0，求 AE 32 设 A 矩阵 B 满足 ABA2B，求 B33 设 APPB，其
6、中 求 A 及 A534 设 4 阶方阵 A 满足 A(EC -1)TCTE，化简上述关系式并求 A35 设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A*，且 A*A T证明A 036 将 n 阶可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B，(1) 证明：B 可逆；(2)求 AB-137 设矩阵 A 的伴随矩阵 A* 矩阵 B 满足 ABA-1BA -13E，求B38 设 (1)求 An(n2，3，)； (2)若方阵 B 满足A2ABAE，求 B39 设实方阵 A(a ij)44 满足： (1)aijA ij(i，j1，2，3，4，其中 Aij 为 aij 的代数余子式)； (2)a
7、110，求A40 设 A*为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵，A ，求(3A) -12A *的值41 设 3 阶矩阵 A 可逆，且 A-1 A*为 A 的伴随矩阵，求(A *)-142 设 4 阶方阵 A 2 3 4，B 2 3 4，其中 ， ， 2， 3， 4 都是 4 维列向量，且A4，B1，则AB的值43 设 (1 ， 2，3)，(1， )，矩阵 A T，则 An(n2，3，)的值44 设 是 n 维非零列向量，矩阵 AE T证明： (1)A2A 的充要条件是T1；(2)当 T1 时，A 不可逆45 已知矩阵 A(a ij)33 的第 1 行元素分别为 a111，a 122，a 131又知(
8、A *)T ，其中 A*为 A 的伴随矩阵求矩阵 A46 已知三阶方阵 A 的行列式A2，矩阵 B ，其中 Aij 为 A的(i，j)元素的代数余子式(i、j1，2，3)，求 AB47 设矩阵 A ，矩阵 B 满足(A *)-1BA*BA *8A，其中 A*为 A 的伴随矩阵，求矩阵 B考研数学二（矩阵）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵6 【正确答案】
9、C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 为满足秩方阵，故秩(AB)秩 (A)2【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 3【试题解析】 由 BAO 及 BO， A0， t3【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 B(A2E) -1(A24E)(A2E) -1(A2E)(A2E) A 2E【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 r(A)n 1 ， A1(n1)a(1a) n-10， 或a1，而当 a1 时有 r(A)1n 1，故必有 a【知识模块】 矩阵13 【正确答案
10、】 【试题解析】 两端右乘 A-1，得 A*B2B8A -1，两端左乘 A 并利用AA*AE2E，得2B2AB8E ，【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 O【试题解析】 A 22A，故 An2A n-1A n-2(A22A)O 【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 r(A *)0 【试题解析】 r(A 44)2 A 中 3 阶子式、即每个元素的余子式均为零 A*O ，故 r(A*)0【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 2A *B-12A *B -12 nA n-1B -1 【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 可利用分块对角
11、阵求逆法，得【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 1【试题解析】 将 A 的第 1 行的 倍加到第 i 行(i2，3，n)所得矩阵仅有第 1 行非零， 秩(A) 1或由 A ，其中 (a 1，a 2，a n)T，(b 1，b 2，b n)，及 AO，得 1r(A)r()r()1， r(A)【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 用 A-1 右乘题给等式两端，再用 A 左乘两端，得【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 (A2E)【试题解析】 OA 2A4E(AE)(A2E) 2E4E (AE)(A2E)2E，【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 1【试题解析】 a T2a 2，【知识
12、模块】 矩阵23 【正确答案】 【试题解析】 ABB 2AO，(AE)B2(AE)2EO ，(A E)(B2E)2E，【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 【试题解析】 由于 A2 ， A 3(A 2)2E， A2004)(A 4)501E 501E， 故 B20042A 2P -1A2004P2A 2【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 【试题解析】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A，又 A-1A T，故方程组 Ab 的解为 A -1bA Tb【知识模块】 矩阵28
13、【正确答案】 2【试题解析】 A2 1 2， 1 2 1， 2 ，两端取行列式，得AB(3)，因A6，得B2【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 其中B 2 nB【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 由条件得A 21，B 21 A1，B1，又AB AB1，故ABAEEBAB 2A 2BA(B A)B AB A BAB AB0【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 AEAAA TA(EA T)A(EA T)TAEA AEA (1A)A E0，又1A0 AE0【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 B(A2E) -1A【知识模块】 矩阵33 【正确答案
14、】 A5(PBP -1)(PBP-1)(PBP-1)PB 5P-1PBP -1A【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 A(CB) TE， A(CB) T-1【知识模块】 矩阵35 【正确答案】 AA TAA *AE，若A0，则得 AATO ，其(i ，i)元素为 aik0(i ，k1，2，n) A O，这与 AO 矛盾【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 (1)B A0 B 可逆(2) 将 n 阶单位矩阵对换第 i 行与 j 行后所得的初等阵记为 Eij，则 BE ijA，故 AB-1A(E ijA)-1AA -1Eij-1E ij-1E ij【知识模块】 矩阵37 【正确答案】 由A *A
15、n-1，有A 38，得A2用 A 右乘题设等式两端，用 A*左乘两端，并利用 A*AAE2E ，得2BA *B6E B6(2EA *)-1 【知识模块】 矩阵38 【正确答案】 (1)A 2 4E A2m(A 2)m4 mE，A 2m+1A 2mA4 mA(m1，2，) (2)A -1 A，ABEA A 2，两端左乘 A-1， 得 BA -1EA【知识模块】 矩阵39 【正确答案】 a ijA ij(i，j1，2，3，4) ATA * A TA *，即AA 3， A(1A 2)0， A 取值范围为 0，1，1，又A A1【知识模块】 矩阵40 【正确答案】 【知识模块】 矩阵41 【正确答案】
16、 或利用(A*)-1(A)【知识模块】 矩阵42 【正确答案】 AB 2 2 23 248 2 3 4 8( 2 3 4 2 3 4)8(41) 40【知识模块】 矩阵43 【正确答案】 A n( T)(T)( T)(T) T(T)( T) T3n-1 3 n-1T【知识模块】 矩阵44 【正确答案】 (1)A 2 A (E T)(E T)E T E2 T( T)TE T (T1) TO(注意 TO) T1 (2)当 T1 时，A 2A ，若 A 可逆，用 A-1 左乘 A2A 两端，得 AE，代入 A 的定义式得 TO这与 TO 矛盾【知识模块】 矩阵45 【正确答案】 由(A *)T(A ij)知A117，A 125，A 134， Aa 11A11a 12A12a 13A131，又AA*AEE ， A(A *)-1【知识模块】 矩阵46 【正确答案】 矩阵 B 可看成是由 A*互换 1、3 两列所得到的，故有【知识模块】 矩阵47 【正确答案】 (A *)-1 AA，给题设方程两端右乘(A *)-1A ，得 ABB8A 2，【知识模块】 矩阵
