1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A-1+B-1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵2 设 则A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P13 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示
2、（D） 4 可由 1， 2 线性表示4 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关5 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，Ax=0 的通解为X=k(0，-1 ， 3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 46 设 A 为三阶矩阵，方程组 Ax=0 的基础解系为 1， 2，又 =
3、-2为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33-1（C） 1+22+33（D）2 1-327 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） A= B（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同二、填空题8 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，则 =_9 设 A= =_10 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_11 设 AB，其中 ，则 x=_，y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
4、1 设 D=12 计算 D；13 求 M31+M33+M3414 设 B= ，求 B-115 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一16 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立16 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，-2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(-1，2，0，1) T，(2 ，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解17 求常数 a；18 求方程组 AX=0 的通解19 设 A= ，B A *，求 B+2E 的特征值20 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关
5、的特征向量分别为 ，求 An21 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ，属于特征值 2=3=2 的特征向量为 2= ，求属于 2=3=2 的另一个特征向量21 设 AB，22 求 a，b；23 求可逆矩阵 P，使得 p-1AP=B23 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵) 求：24 二次型 XTAX 的标准形；25 E+A+A 2+An的值考研数学二（线性代数）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+
6、B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得 A-1+B-1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2，a3 线性相关，所以
7、1 可由 2， 3 线性表示，选(A)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=AE=O，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因
8、为- 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为 A*X=0的一个基础解系，应选(C)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Ax=0 有非零解，所以 r(A)1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1+3 为属于特征值 A。的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A( 1+3)=01-23=-23，故-2 3=0(1+3)或01+(0+2)3=0，因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 33-1 及 1+22+33
9、也不是特征向量，显然 21-32 为特征值 0 对应的特征向量，选(D)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数部分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 J6I 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为A=2，所
10、以 A*A=AE=2E，而A*A=(A*1，A *2，A *3)，所以 A*1= ，A *2= ，A *3= 于是【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)ki0，所以 r(A*)1，从而 r(A)=n-1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=AE=0，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(Ak1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 3，1【试题解析】 因为 AB，所以
11、，解得 x=3，y=1【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 M 31+M33+M34=1A31+0A32+1A33+(-1)A34【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O，故 r(A)+r(B-C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(B-C)=O，B-C=O ，于是 B=C，即A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数部分16 【正确答
12、案】 令 k11+knn=0，由 1， n 两两正交及( 1，k 11+knn)=0，得 k1(11)=0，而( 11)= 1 20，于是 k1=0，同理可证 k2=kn=0，故1， ， n 线性无关令 1= ， 2= ，显然 1， 2 线性无关，但 1， 2 不正交【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，-2 ，1，2) T，(1，0，5，2) T，(-1，2，0，1) T，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 =0，解得 a=6【知识模块】 线性代数部分18 【正确答
13、案】 因为(1，-2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(-1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通 解为 X=k1(1，-2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(-1，2，0，1)T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 得1=7， 2=3=1，A *对应的特征值为 即 1=1， 2=3=7因为BA *，所以 B 的特征值也为 1=1， 2=3=7，从而 B+2E 的特征值为 3，9，9【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 令 =x11+x22+x33，解得 x1=2，x 2=-2，x 3=1，则 An=2A
14、n1-2An2+An3=【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有1T2=-1+k=0 k=1 1=8 对应的特征向量为 1= 令 2=3=2 对应的另一个特征向量为 3= ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x1+x2+x3=0【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1-2=2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2E-A)=1，而 2E-A= ，于是 a=5，再由tr(A)=tr(B)得 b=6【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由(2E-A)X=0
15、 得 =2对应的线性无关的特征向量为由(6E-A)X=0 得 =6对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P=，则 p-1AP=B【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 因为 A2=A，所以AE-A =0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r重)，=0(n-r重)，则二次型 XTAX 的标准形为 y12+2y2x2+yr2【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 令 B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r重)，=1(n-r 重)，故E+A+A 2+An B=(n+1) r【知识模块】 线性代数部分
