1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 ABO，则A0 或B02 设 ，则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2-1AP1（D）B=P 1-1AP2-13 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1-2， 2
2、-3， 3-4， 4-1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 线性无关（D） 1+2， 2+a3， 3-4， 4-1 线性无关4 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合5 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1，+ 2， 2+4， 3-1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1-32+223，3
3、 1+52-536 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP-1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵7 设 ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似二、填空题8 设 A=(1， 2， 3)为三阶矩阵，且A=3 ，则 1+22， 2-33， 3+21=_9 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*-1=_(用 A*表示)10 设 A 为四阶矩阵，A *=8，则 =_11 设 n 维列向量 =(a，0，0，
4、a) T，其中 aT，B=E+ ，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_12 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A= (ai0，i=1，2，n)，求 A-114 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=O，证明：A=O 15 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn) ，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关16 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2=31-3-5， 4=21+3+65，求方程组 AX=0 的
5、通解16 17 若 aiai(ij)，求 ATX=b 的解；18 若 a1=a3=a0，a 2=a4=-a，求 ATX=b 的通解19 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 120 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由21 设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化22 设 A 为三阶矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， ，求 A22 设 且 AB23 求 a；24 求可逆矩阵 P
6、，使得 p-1AP=B24 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1，x 2，x n)=25 记 X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式；26 二次型 g(X)=XTAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同?考研数学二（线性代数）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 取 ，显然 AB=O，故(A)、(B)都不对，取 ，但A =0 且B=0，故(D)不对；由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=O，所以选(C)【知识
7、模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为-( 1+2)+(2+a3)-(3+4)+(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0， 所以 1-2， 2-3， 3-4， 4-1 线性相关； 因为( 1+2)-(2+3)+(3-4)+(4-1)=0， 所以 1+2， 2+3， 3-4， 4-1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 4-1 线性无关，选(C)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 C【试题解析】
8、 因为A=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 (C)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 C【试题解析】 由E-A=0 得 A 的特征值为 1，
9、3，-5，由E-B=0 得 B 的特征值为 1，1，-1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数部分二、填空题8 【正确答案】 -33【试题解析】 1+22， 2-33， 3+21 = 1， 2-33， 3+21+2 2， 2-33， 3+21 = 1， 2-33， 3+2 2，-3 3， 3+21 = 1， 2， 3-6 2， 3， 3+21= 1， 2， 3-6 2， 3，2 1 = 1， 2， 3-12 2， 3， 1= 1， 2， 3-12 1， 2， 3=-33【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA -1 得(A *)*=A
10、 *(A *)-1=A n-1( AA -1)-1= A n-2A，故 (A*)*=【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *=8，所以 A*=A 3=8，于是A=2又 AA*=AE=2E，所以 A*=2A-1，故 =4A -1-6A-1= (-2)A-1=(-2) 4A -1= =8【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 -1【试题解析】 由 AB=(E-T)(E+ )=E+ -T-2aT=E 且 TO，得 -1-2a=0，解得 a=-1【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks
11、，显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=b，所以(k 1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=O，所以 r(A)=0，于是 A=O【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 首先 r(B)minm，n=n
12、，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)f(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由2=31-3-5， 4=21+3+65 得方程组 AX=0 的两个解为 1=(3，-1，-1，0，-1)T， 2=(2，0，1，-1，6) T 故 AX=0 的通解为 k1(3，-1 ，-1，0，-1) T+k2(2，0，1，-1，6) T(k1，k 2 为任意常数
13、)【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 D=AT=(a 4-a1)(a4-a2)(a4-a3)(a3-a1)(a3-a2)(a2-a1)， 若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为X=(0，0，0，1) T；【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 当 a1=a3=a0，a 2=a4=-a 时，方程组通解为 X=k1(-a2，0，1，0)T+k2(0，-a 2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 设 Ax=X，则
14、XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAx=2XTX，因为 ATA=E， 所以( 2-1)XTX=0，而 XTX=X 20，所以 2=1，于是=1【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 由 AX= 得 A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2X=X，其中 A= ，A 2=O，A 2 的特征值为 =0，取X= ，显然 A2X=0X，但 AX= ，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 由(aE-A)(bE-A)=O，得aE AbE-A=0，则aE-A=0或者bE-A =0又由(aE
15、-A)(bE=A)=0，得 r(aE-A)+r(bE-A)n同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n所以 r(aE-A)+r(bE-A)=n(1)若aE-A0 ，则 r(aE-A)=n，所以 r(bE-A)=0，故 A=bE(2)若bE-A0，则 r(bE-A)=n，所以，r(aE=A)=0，故 A=aE(3)若aE-A=0 且bE-A=0 ，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个；方程组(bE-A)X=0 的
16、基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(-1)+2，于是 a=0【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 由E-A= =(+1)(-1)(-2)=0 得 A，B 的特征值为1=-1， 2=1， 3=2当 =-1 时，由
17、(-E-A)X=0 即(E+A)X=0 得 1=(0，-1，1) T；当=1 时，由(E-A)X=0 得 2=(0，1，1) T；当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 3=(1，0，0)T，取 P1= ，则 P1-1AP1= 当 =-1 时，由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得1=(0，1，2) T；当 =1 时，由(E-B)X=0 得 2=(1， 0，0) T；当 =2 时，由(2E-B)X=0 得 3=(0，0，1) T，取 P2= ，则 P2-1BP2= 由 P1-1AP1=P2-1BP2 得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B，取 P=P1P2-1= ，则 p-1AP=B【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 f(X)=(x 1，x 2，x n)因为 r(A)=n，所以A0，于是=A-1，显然 A*，A -1 都是实对称矩阵【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A-1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(x)=XTAX 规范合同【知识模块】 线性代数部分
