1、考研数学二（行列式）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 =m，则 =（A）30m（B） 15m（C） 6m（D）6m2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A=3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *=（A）2 n A *（B） 2n1 A *（C）（D）4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，若 C= ，则C =（A）3ab（B） 3mab（C） (1) mn3mab（D）(1) (m+1)n3mab5 x= 2 是 =0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必
2、要条件二、填空题6 若 的代数余子式 A12=1，则代数余子式 A21=_7 若 A= ，则 A=_ 8 设 A= ，则 2A1 =_ 9 设 ， ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A= ， 1， 2， 3=4 ，B=，2 1，3 2， 3=21，则A+B=_10 已知 Dn= ，若 Dn=anDn1 +kDn2 ，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 f(x)= 的 x3 的系数12 A= ，证明xEA 的 4 个根之和等于 a11+a22+a33+a4413 设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明14 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)
3、，B=(， 1， 2， 3)，A =2，B=3 ，求A+B15 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)，B=(， 2， 3， 1)，A =a，B=b，求A+B16 设 D= 求A 13A 23+2A33+A4317 计算行列式18 计算行列式19 已知(2 ，1，1，1) ，(2 ，1，a ，a)，(3，2，1， a)，(4，3，2，1)线性相关，并且a1，求 a20 计算 4 阶行列式21 计算行列式22 计算行列式23 设 A= ，计算行列式 A24 计算 n 阶行列式25 证明 n 阶行列式26 证明 =(n+1)an27 证明28 证明29 证明30 计算31 计算32 计算 n
4、阶行列式33 若行列式的某个元素 aij 加 1，则行列式的值增加 Aij34 若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 35 若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和考研数学二（行列式）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA=k nA及A= A n1有A *A=A * nA =(A n1 )nA= 故应选 C【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 (2A) *=2A n
5、1 =(2nA)n 1=2n(n1) A n1 =2n(n1) A *或利用(kA) *=kn1 A*，那么(2A)*= 2n1 A*=(2 n1 )A *= 故应选 C【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 用性质有 C= =(1) mn3AB =(1)mn3mA( 1)nB=(1) (m+1)n3mab故应选 D【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式因为x= 2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为 1所以 x=2 是 D=0 的充分而非必要条件故应选 B【知识模块】 行列式二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义
6、 A12= =(5x4)=1 = x=1故 A21= =2注意：求代数余子式不要丢 +、号【知识模块】 行列式7 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 ，由 A 中两行元素成比例而知A=0【知识模块】 行列式8 【正确答案】 4 【试题解析】 用kA=k nA及A 1 = ，可知2A 1 =(2)3A 1 = 又A=2，从而2A 1 = 4【知识模块】 行列式9 【正确答案】 180【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故 A+B=+，3 1，4 2，2 3 =24 ， 1，
7、2， 3+2， 1， 2， 3 =24A +4B=180【知识模块】 行列式10 【正确答案】 1【试题解析】 从而 k=1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23项 x 的次数都不超过 2，因此(x3)(x8)(x+1)x 中 x3 的系数10 就是所求【知识模块】 行列式12 【正确答案】 设 4 个根为 x1，x 2，x 3，x 4因为xEA 是 x 的 4 次多项式，并且 x4 的系数为 1，所以 xEA=(x x 1)(xx 2)(xx 3)(xx 4) 考察 x3 的系
8、数从右侧看为(x 1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为 xEA对角线外的元素都是不含 x 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(xa 11)(xa 22)(xa 33)(xa 44)这一项包含 x3 的，并且系数为 (a11+a22+a33+a44)于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44【知识模块】 行列式13 【正确答案】 把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn次邻换于是【知
9、识模块】 行列式14 【正确答案】 A+B=(+，2 1，2 2，2 3)，( 注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加) A+B =+，2 1，2 2，2 3=8+， 1， 2， 3(用性质，二，三，四列都提出 2) =8(， 1， 2， 3+， 1， 2， 3) =8(2+3)=40【知识模块】 行列式15 【正确答案】 A+B=(+， 1+2， 2+3， 3+1)， A+B= +， 1+2， 2+3， 3+1 = +，2 1+2+3， 2+3， 3+1(把第 4 列加到第2 列上) =+ ，2 1， 2+3， 3+1( 第 2 列减去第 3 列) =2+， 1， 2+3， 3=2+，
10、1， 2， 3 =2(， 1， 2， 3+， 1， 2， 3) =2(， 1， 2， 3+， 1， 2， 3)=2a+2b A+B=2a+2b 【知识模块】 行列式16 【正确答案】 所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A13，A 23，A 33，A 43依次乘1，1，2，1 后的和A 13，A 23，A 33，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为1，1，2，1，则 A13，A 23，A 33，A 43 不改变于是修改后的行列式的值=它对第 3 列的展开式=A 13A 23+A33+A43！【知识模块】 行列式17 【正确答案】 先把 2 至 4 列
11、都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，【知识模块】 行列式18 【正确答案】 先提出第 5 行的公因子 a，再把上面 4 行依次加上它的2a 倍，a 倍，a 倍和 2 倍：【知识模块】 行列式19 【正确答案】 这 4 个向量线性相关以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为0 得 a=12【知识模块】 行列式20 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式：【知识模块】 行列式21 【正确答案】 先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，再自下而上 2 至 4 行各减去上行：【知识模块】 行列式22 【正确
12、答案】 此题用定义，或用对行(列)的展开都不难计算下面介绍的方法容易推广用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与 3，2列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换：【知识模块】 行列式23 【正确答案】 对第 1 列展开： A=A 11+aA41=M11aM 41=1a 4【知识模块】 行列式24 【正确答案】 先建立递推公式：记此行列式为 Dn当 n3时，对第 1 列( 或行)展开，得 Dn=A11+A21=Dn1 M 21，M 21 的第 1 行为 (1，0，0)，它对第 1 行展开得 M21=Dn2 于是得递推公式 D n=Dn1 D n2 ，于是用它可以从 D1，D
13、2 的值求得 Dn事实上当 n4时， D n=Dn1 D n2 =Dn2 D n3 D n2 =D n3 再由D1=1，D 2=0，D 3=D2D 2=1 推得【知识模块】 行列式25 【正确答案】 记此行列式为 Dn，对第 1 行展开，得到一个递推公式 Dn=(1a)Dn1 +aDn2 下面用数学归纳法证明本题结论 (1)验证 n=1，2 时对： D1=1a，D 2= =(1a) 2+a=1a+a 2 (2)假设对 n1 和 n2 结论都对，证明对 n 也对： D n1 =1 a+a2a 3+(a) n1 ， Dn2 =1a+a 2a 3+(a) n2 ，则由递推公式 Dn=(1a)D n1
14、 +aDn2 =Dn1 a(D n1 D n2 )=Dn1 +(a)n=1a+a 2a 3+(a) n1 +(a) n【知识模块】 行列式26 【正确答案】 本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法记此行列式为 Dn，对第 1 行展开，得递推公式 D n=2aDn 1a 2Dn2 用数列技巧计算 Dn=2aDn1 a2Dn2 改写为 DnaD n1 =a(Dn1 aD n2 )，记 Hn=DnaD n1 (n2)，则 n3时 Hn=aHn1 ，即H n是公比为 a 的等比数列而H2=D2aD 1=3a22a 2=a2，得到 Hn=an，于是得到一个新的递推公式 D n=aDn1 +an
15、， 两边除以 an，得 Dna n=Dn1 a n1 +1于是D na n是公差为 1 的等差数列D 1a=2，则 D na n=n+1，D n=(n+1)an【知识模块】 行列式27 【正确答案】 对第 1 行展开得递推公式 Dn=(a+b)Dn1 abD n2 然后用数学归纳法的程序证明结论 下面用数列技巧计算 把 Dn=(a+b)Dn1 abD n2 改写为DnbD n1 =a(Dn1 bD n2 )，则D nbD n1 是公比为 a 的等比数列D 2bD 1=a2，得 Dn bDn1 =an，于是得到一个更加简单的递推公式： Dn=bDn1 +an， (1) 当 a=b 时，则 Dn=
16、aDn1 +an，得 Dn=(n+1)an 当 ab时，和(1)对称地有 Dn=aDn1 +bn， (2) a(1)b(2)，得(a b)D n=an1 b n1 ，【知识模块】 行列式28 【正确答案】 本题和下题在有的教材里称为“爪形行列式” ，它们都可以用数学归纳法证明如本题对第 n 列展开就可得到递推公式 D n=cnDn1 +(1)n1 b1b2bn1 an 然后容易进行归纳证明 下面要说明的是对这类行列式的一个事实：只要对第 1 行展开就可以求值！ 把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照： 就可看出结论也就是对每个 i，有 M 1i=b1bi1 ci+1cn而这个等式只要写
17、出 M1i 就可得到： 于是M1i=G iH i=b 1bi1 ci+1cn【知识模块】 行列式29 【正确答案】 对第 1 行展开a 0 的代数余子式 A11=M11= i1时 ai 的代数余子式 A1i+1=(1) iM1i+1M1i+1= ，其中于是M1i+1=G i H i i=(1) i+1bic1ci1 ci+1cn【知识模块】 行列式30 【正确答案】 各行减上行，a(ab)4b(c a)(a b)3+b(ca) 2(ab) 2b(ca) 3(ab)+b(ca) 4【知识模块】 行列式31 【正确答案】 如果每个 xi 都不是 0，各列提出公因子 xi：=x1x2x3x4x5(1
18、+x11 +x21 +x31 +x4 1+x5 1) =x1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4如果有xi=0，则可直接计算如 x1=0，则第 1 列的元素都为 1，其他各列都减第 1 列，求出值为 x2x3x4x5(上面答案中 x1=0 的情形)【知识模块】 行列式32 【正确答案】 对第一列展开： 其中 Gi 是一个对角线元素都是1 的 i1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 x 的 ni 阶上三角矩阵，于是 M i1=G iH i=(1) i1 xni 代入得 D= aixni 【知识模块】 行列式33 【正
19、确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a 1j，a ij+1，a nj)T=(a1j，a ij，a nj)T+(0，1，0) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 Aij【知识模块】 行列式34 【正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a 1j+1，a ij+1，a nj+1)T=(a1j，a ij，a nj)T+(1，1，1) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 【知识模块】 行列式35 【正确答案】 设原来行列式的列向量依次为 1， 2， s，记=(1，1，1) T则改变后的行列式为 1+， 2+， s+对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1+， 2+， s+是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是 (这样的有 n 个) ，还有一个是 1， 2， ， s即原来行列式于是【知识模块】 行列式
