1、考研数学（数学一）模拟试卷 205 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为2 设 f(x)2 x3 x2，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)比 x 更高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小3 设场 Ax 32y，y 32z，z 32x，曲面 S：x 2y 2z 2=2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( )（A）32（B） 32（C） 325（D）3254 设 f(x)x(1x)，则 ( )（A）x0
2、是 f(x)的极值点，但 (0，0)不是曲线 yf(x)的拐点（B） x0 不是 f(x)的极值点，但(0，0) 是曲线 yf(x) 的拐点（C） x0 是 f(x)的极值点，且(0，0) 是曲线 yf(x)的拐点（D）x0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)不是曲线 yf(x)的拐点5 （A）ab 或 a2b0（B） ab 或 a2b0（C） ab 且 a2b0（D）ab 且 a2b06 设 o 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( oEA)X0 的基础解系为1， 2，则 A 的属于 o 的全部特征向量为( )（A） 1 和 2（B） 1 或 2（C） c11c 22(c1，
3、c 2 全不为零 )（D）c 11c 22(c1，c 2 不全为零 )7 设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，y 服从参数为 1的指数分布，则概率 P XY1( )（A）112e（B） 1e（C） e（D）2e8 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S nX 1X 2X n，则根据列维一林德伯格中心极限定理，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布二、填空题9 10 11 12 13 若 f(x。， x2，x，)2x 12x 22x 322x 1x2tx
4、2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_14 已知随机变量 X 和 Y 相互独立，则 XN(1，1)，Y (1，4)，又PaXbY012，则 a 与 b 应满足关系式_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 yf(x)，直线 x1，xt(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体积为 V(t)3t 2f(t)f(1)，试求yf(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y x2 29 的解16 17 18 将函数 f(x)ln(1x2x 2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间19 已知 f(x)0，f(0
5、)0，试证：对任意的两正数 x1 和 x2，恒有 f(x1x 2)f(x 1)f(x 2)成立20 设 n 元线性方程组 Axb，其中(I)证明行刿式A(n1)a n；()a 为何值时，方程组有唯一解?求 x1；()a 为何值时，方程组有无穷多解? 求通解21 设 n 阶矩阵 (I)求 A 的特征值和特征向量；()求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵22 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，X 的分布密度为试用矩估计法估计总体参数 23 考研数学（数学一）模拟试卷 205 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正
6、确答案】 B3 【正确答案】 D4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 D7 【正确答案】 A8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 本题考查二次型正定的充要条件，即其矩阵的顺序主子式都大于0，14 【正确答案】 X 与 Y 相互独立，XN(1，1)，YN(1 ，4)，ZaXbY N(a b，a 24b 2)，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设，引入辅助函数，即 g(x)e x，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足柯西中值
7、定理的条件，所以知存在一点 (a，b)，使得17 【正确答案】 18 【正确答案】 由于 f(x)ln(1 x2x 2)ln(1 x)ln(12x)，19 【正确答案】 令 F(x)f(xx 2)f(x) f(x 2)， 则 F(x)f(xx 2)f(x)xf(xx 2)0 (01) 可见， F(x)单调减少，又 x10，故 F(x1)F(0) ，即f(x1x 2)f(x 1)f(x 2)0 也即 f(x1x 2)f(x 1)f(x 2)20 【正确答案】 (I)利用行列式性质，有21 【正确答案】 (I)由题设，先由特征值多项式AE0 求 A 的特征值，即22 【正确答案】 23 【正确答案】 (I)由题设，(X ，Y)的取值有四种可能即( 1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，由已知 U，在2，2上均匀分布，即 P(U1)14，P(U1)34；P(U1)34，P(U1)1P(X，Y)(1，1)P u1，U1PUl14，P(X，Y)(1，1)PU 1，U 10，
