1、考研数学（数学一）模拟试卷 278 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )。（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D）(x)/f(x) 必有间断点2 设常数 0，而级数 收敛，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 A 有关3 在曲线 z=t，y=-t 2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存
2、在4 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 等于( )5 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系由 C 而定6 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 a1，a 2，则a1，A(a 1+a2)线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 207 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0P1) ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(0 P1)
3、2（B） 6p(0P 1) 2（C） 3p2(0P 1) 2（D）6p 2(0PI) 28 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 PX-( )（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定二、填空题9 设 =_10 设曲面是 z=x2+y2 介于 z=0 与 z=4 之间的部分，则_11 设 ，则 a=_12 幂级数 的和函数为_13 若 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_14 已知随机变量 X 和 Y 相互独立，则 XN(1，1)，Y (1，4)，又 PaX+bY0=1/2，则
4、a 与 b 应满足关系式 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，满足 f(x)=sinx-ax(x-t)f(t)dt，求 f(x)16 设曲线积分 c2xyex22dx+(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，具 (0)=1，计算 的值17 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0x1，0y118 设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 f(1)= ，试证：存在(0， 1)，使 f()+f()=019 试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)220 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 ，试确定常数口的值，并求可逆矩阵 P使 P-1AP=2
5、1 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2-82x3 为标准形22 设总体 XN(，8)， 未知，X 1，X 2，X 36 是取自 X 的一个简单随机样本，如果以区间( -1， +1)作为肛的置信区间，求置信度23 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，1)，而 X1，X 2，X 9和 Y1，Y 2，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，求统计量所服从的分布，并指明参数考研数学（数学一）模拟试卷 278 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (D)反设 g(x)=
6、(x)/f(x)在(- ，+)内连续，则咖 (x)=g(x)f(x)在(-，+) 内连续，矛盾所以(D) 是答案2 【正确答案】 C【试题解析】 又级数均收敛，所以由级数的运算性质得级数 收敛，于是，由正项级数的比较判别法，得级数 绝对收敛，故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 求曲线上的点，使该点处的切向量 与平面 x+2y+z=4 的法向量n=1， 2，1)垂直曲线在任意点处的切向量 =x (t)，y (t)，z (t)=1，-2t，3t 2n n*=0，即 1-42+3t2=0 解得 t=1，t=1/3(对应于曲线上的点均不在给定的平面上) 因此，只有两条这种切线，应选(B)4
7、【正确答案】 B【试题解析】 由二次积分 /2dxsinx1f(x,y)dy 的积分上、下限知积分区域为y=sinx(/2x) 的反函数为 x=-arcsiny，则积分区域可变为，于是积分变为 ，故应选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 由 B=AC 知 r1r(A)=r，又 B=AC 两边同时右乘 C-1，得 A=BC-1，于是 rr(B)=r。，从而有 r=r。，故选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知 A(a1+a2)=Aa1+Aa2=1a1+2a2，于是 a1，A(a 1+a2)线性无关 k1a1+k2A(a1+a2)=0， k1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)a
8、1+2k2a2=0，k 1，k 2 恒为0又因为不同特征值的特征向量线性无关，故 a1，a 2 线性无关，于是k1，k 2 恒为 0齐次方程组 只有零解故选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标，则他前 3 次射击中只有一次命中，概率为 C31*p(0P1) 2*P=3p2(0P1) 2故应选(C) 8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X：N(， 2)，所以 于是可见，所求概率 PX-不随 的变化而变化，故应选 (C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由参数式求导公式得 再对 x 求导，由复合函数求导法得10 【正确答案】 (e 4-1)【
9、试题解析】 11 【正确答案】 2【试题解析】 12 【正确答案】 x(-1 ，1)【试题解析】 该等式在(-1，1)中成立；当 x=1 时，得到的数项级数的通项不趋于 0，13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查二次型正定的充要条件，即其矩阵的顺序主子式都大于 0，由题设，所给二次型相应的矩阵为 显然一阶顺序主子式为20，2 阶顺序主子式为 三阶顺序主子式=14 【正确答案】 a+b=0【试题解析】 X 与 Y 相互独立，XN(1，1)，YN(1 ，4)，Z=aX+bYN(a+b，a 2+4b2)，于是故 a+b=0.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 1
10、6 【正确答案】 令 P(x，y)=2xye x2，Q(x，y)=(x)，因为曲线积分与路径无关，所以有 ，即 (x)=2xex2，故 (x)=ex2+C，因为 (0)=1，所以 (x)=ex217 【正确答案】 D 是正方形区域，因在 D 上被积函数分块表示为用 y=x 将 D 分成 D=D1D2，其中D1=Dyx，D 2=Dyx两块，18 【正确答案】 由结论可知，若令 (x)=xf(x)，则 (x)=f(x)+xf(x) 因此，只需证明 (x)在0，1内某一区间上满足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 (0，1/2)使 由已知条件并且 (x)在，1上连续，在(
11、 ，1) 上可导，故由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)使得()=0，即 f()+f()=019 【正确答案】 令 f(x)=(x2-1)Inx-(x-1)2 易看出 f(1)=0，且有由此得 x=1 是，f (x)的最小点，因而 f(x)f (x)f (1)=20(x 0，x1)；由此，f (x)在 x0 单调增，又由 f(x)=0,f(x)在 x=1由负变正，x=1 是 f(x)的最小点，故 f(x)f(0)=0(x0)，所以当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)220 【正确答案】 由题设，先求矩阵 A 的特征值，设层为三阶单位矩阵，则由可得1=6， 2=6， 3=-2，欲使
12、 A 相似于对角阵 ，应使 1=2=6 对应两个线性无关的特征向量，因此 A-6E 的秩为 1，于是 A-6E= 可得出a=0。从而 A= ，下面求特征向量当 1=2=6 时，由(A-6E)x=0 可得出两个线性无关的特征向量为 1=(0，0，1) T， 2=(1，2，0) T当 3=-2 时，由(A+2E)x=0 可得 3=(1，-2，0) T，于是 ，且 P-1 存在，并有 P-1AP=，其中 P-1=21 【正确答案】 二次型的矩阵是 A= 其特征多项式为E-A=所以 A 的特征值是 1=2=0， 3=9对于是1=2=0，由(OE-A)x=0，即 得到基础解系a1=(2，1，0) T，a
13、 2=(-2,0， 1)T，即为属于特征值 =0 的特征向量对于 3=9，由(9E-A)x=0，即 得到基础解系 a3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对 a1，a 2 正交化 1=a1=(2，1，0) T，把 1， 2， a1 单位化，有 r1=那么经正交变换 ，二次型 f 化为标准形 f=9y3222 【正确答案】 依题设，置信区间的长度为 21-a=2(212)-1=0966 以( -1， +1)作为 的置信区间，其置信度为 096623 【正确答案】 由于 X1，X 2，X 9 是来自正态总体的样本，且都服从 N(0，1)，由于 Y1，Y 2，Y 9 相互独立，且都服从 N(0，1)，则=Y12+Y22+Y29X 2(9)又因为随机变量 ， 相互独立，由 t 分布知即统计量 Z 服从 t 分布，参数为 9
