1、考研数学（数学一）模拟试卷 356 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ，y， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示2 3 4 5 6 7 下列命题正确的是( )（A）设 anbn(n=12，)，并设 收敛，则 亦收敛（B）设 anb n(n=1，2，)，并设 发散，则 亦发散（C）设 anb n(n=1，2，)，并设 发散，则 亦发散（D）设a n b n(n=1 ，2，)，并设 收敛，则 亦收敛8 (1997 年试题
2、，二) 二元函数 在点(0，0)处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在二、填空题9 设 u=e-xsin(x/y)，则 在点（2,1/）处的值为_.10 =_.11 12 13 14 已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵 A 的特征向量是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设有一高度为 h(t)(t 为时间) 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)-2(x2+y2)/h(t)(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 09)，问高度为 1 30(厘
3、米)的雪堆全部融化需多少小时?16 17 18 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 09777(2)=0977，其中(x)是标准正态分布函数)19 20 21 已知投资者投资于无风险资产的投资金额占总投资额的比例为 ，风险资产的期望收益率为 ，收益率的方差为 2；无风险资产的收益率为 0，求该投资的期望收益率和收益率的方差和标准差22 设集合 Xx 1，x 2，x 3，Yy1，y2，Z z1，z2，求 XYZ.23 设 X 服从参数为
4、 的指数分布， Y=min(X，2(1)求 Y 的分布函数； (2)求 PY=2)；(3)判断 Y 是否为连续型随机变量； (4)在Y=2)的条件下，求 X3的概率考研数学（数学一）模拟试卷 356 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 设 发散，从而 亦发散因若后者收敛，则 绝对收敛，又由a nb n，(n=1
5、2，)，故 为正项级数，且 发散，由比较判别法知， 发散，故应选 B其他 A， C，D 均可举出反例如下：A 的反例: 收敛, 但 发散C 的反例发散, anb n，但 却收敛D 的反例见C 的反例8 【正确答案】 C【试题解析】 二元函数的连续性与可偏导性之间的关系并非与一元函数中可导与连续的关系一样，因此需要按定义一一加以判断由已知，所以 f(x，y)在点(0，0)处不连续；又因此 f(x，y) 在(0 ，0)点的两个偏导数都存在综上选 C讨论分段、分块定义的函数的连续性、偏导数的存在性以及可微性一般按定义处理【知识模块】 多元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 2/e2.【试题解析】
6、【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 sinx 2.【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 91【试题解析】 14 【正确答案】 k(一 1，1，1) T，k0 为任意常数【试题解析】 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵 A 只有一个线性尤关的特征向量，故特征值 0 必是 3 重根，且秩 r(0EA)=2由 i=aii 知 30=4+(一2)+1，得特征值 =1(3 重)又 因为秩r(EA)=2，因此有 a=一 2此时(EA)x=0 的基础解系是(一 1，1，1) T故 A 的特征向量为
7、k(一 1，1，1) T，k0 为任意常数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的体积为 V(t)，侧面积为 S(t)t 时刻雪堆形状如图730 所示【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由题设，设 Xi(i=1，2，n)是装运的第 i 箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数，由已知条件 X1，X 2，X n 是独立同分布的随机变量，设 n 箱的总重量为 Tn，则 Tn=X1+X2+Xn又由题设，E(X i)=50，D(X i)=25，i：1， 2，n，从而 E(Tn)=n50=50n ，D(T
8、n)=25n(单位皆为千克)，由中心极限定理，知 Tn 近似服从参数为 50n，25n 的正态分布，即 N(50n，25n)，由条件19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 该投资的可能收益率为 0+(1 - )1，其中 1 为风险投资的可能收益， 1 为 随机变量，E 1=，D 1=2则投资的期望收益率为 E( 0+(1-)1)=0+(1-)E1=0+(1-)， 方差为 D( 0+(1-)1)=(1-)2D1 =(1-)22， 从而标准差为(1-)【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 三个集合的笛卡尔乘积的运算规则与两个集合求笛卡尔乘积的情形相同，只是将原来的二元有序数组替换为三元有序数组，我们可以分步求解。 首先，计算 XY XY(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x3，y 2) 然后将计算结果与集合 Z 做笛卡尔乘积，得 XYZ(x 1，y 1，z 1)，(x1，y 1，z 2)，(x 1，y 2，z 2)，(x 2，y 1，z 1)，(x 2，y 1，z 2)，(x 2，y 2，z 1)，(x 2，y 2，z 2)，(x3，y 1，z 2)，(x 3，y 2，z 1)，(x 3，y 2，z 2)【知识模块】 综合23 【正确答案】 【知识模块】 综合
