1、考研数学（数学一）模拟试卷 419 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，假设 a，b 为非零常数，则( )（A）a+b（B） a 一 b（C）（D）2 x表示不超过 x 的最大整数，则 x=0 是 f(x)= 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）连续点3 设 在 x=2 处条件收敛，则 处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）必发散（D）敛散性由a n确定4 已知 f(x，y)在(0，0)点连续，且 ，则( )（A）f x(0，0)=f x(0，0)=0（B） fx(0，
2、0)=fx(0，0)=1（C） fx(0， 0)和 fx(0，0)都不存在（D）f x(x，y)在(0 ，0)点不可微5 设 A 为 mn 矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是( )（A）若 AB=0，则 B=0（B）对任意矩阵 B，总有 r(AB)=r(B)（C）存在 B，使 BA=E（D）对任意矩阵 B，总有 r(BA)=r(B)6 设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵的秩 r(A)=n 一 3，且 1， 2， 3 为此方程组的三个线性无关的解，则下列向量组中可以作为 Ax=0 的基础解系的是( )（A）一 1，2 2，3 3+1 一 2（B） 1+2， 2 一 3， 3+1
3、（C） 122，3 3 一 1，一 33+22（D）2 1+42，一 22+3， 3+17 设 F1(x)，F 2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)，f 2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)（B） 2f2(x)F1(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)1 一一 F2(x)+f2(x)1 一 F1(x)8 设二维随机变量 ，则( )二、填空题9 10 设 整数 n0，则 f(2n+1)(0)=_11 由方程 所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分 dz=_12 设 u=u(x，y，z)具有二阶连续的偏导数，
4、且满足 =x2+y2+z2，又设S 为曲面：x 2+y2+z2=2az(a0)，取外侧，则13 14 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 PX1，Y 一 2)= 则PX1，y一 2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且 f(1)=0，求证：至少存在一点 (0，1)，使得(2+1)f()+f()=016 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内二阶可导，且 f“(0)0，求证： 01f(x3)dx17 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2y2z2+18W=0
5、确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值18 利用变换 化为变量 y 与 t 的微分方程() 求新方程的表达式；() 求原方程的通解19 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)20 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的矩阵 A 满足 且 1=(1，2，1)T， 2=(1，一 1，1) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系()用正交变换将二次型 f 化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；()求出该二次型21 设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A2+A=0，B 2+B=0， 证明：()A ，B 有公共特征值 =一 1； ()若 AB=BA=0， 1，
6、2 分别是 A，B 属于特征值 =一 1 的特征向量，则 1， 2 线性无关22 设 Y1，Y 2，Y 3 相互独立且都服从参数为 p 的 0 一 1 分布，令求()(X 1，X 2)的联合概率分布； ()当 p 为何值时，E(X1，X 2)最小23 ()设 X1， X2，X n 是来自概率密度为 的总体的样本， 未知，求 的最大似然估计值；()设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(，1)的样本， 未知，求 =PX2) 的最大似然估计值考研数学（数学一）模拟试卷 419 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 y=f(x
7、) 在原点处与 y=sinx 相切，则 y=f(0)=sin0=0，y(0)=f(0)=(sinx)|x=0=1 故选(A) 2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 ，所以 x=0 是 f(x)的跳跃间断点3 【正确答案】 A【试题解析】 由 在 x=2 处条件收敛可知 x=2 是其收敛区间的端点，则收敛半径 R=2，而幂级数 收敛半径相同，则(x 一 1)n 的收敛区间内，故幂级数处绝对收敛。故选(A)4 【正确答案】 B【试题解析】 根据可微的定义，得 f(x，y)在(0 ，0)可微，且 f(0，0)=1 ，f x(0，0)=f y(0，0)=1 5 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项
8、(A)，因为 AB=0 r(A)+r(B)n，又 r(A)=n，所以 r(B)=0，所以 B=0排除对于 (B)，因为 A 为 mn 矩阵，r(A)=n，所以 A 为列满秩矩阵，于是存在 m 阶可逆矩阵 P，n 阶矩阵 Q，使故排除(C)，故选(D)事实上，若取 A=(1，一 2，1) T，B=(1，1，1)，则 r(A)=1，r(BA)=0=r(B)=16 【正确答案】 A【试题解析】 因为 r(A)=n3，所以基础解系所含向量的个数为 n 一(n 一 3)=3；又由解的性质可知，四组备选答案中任何一组的三个向量均为解向量，现在要验证的是哪组解向量线性无关又因为选项(A)中(一 1，2 2，
9、3 3+1 一 2)=(1， 2， 3) =(1， 2， 3)C =一 60，故 r(一 1，2 2，3 3+1 一 2)一 r(1， 2， 3)=3故选项(A)中的三个解向量线性无关故选(A) 7 【正确答案】 D【试题解析】 非负性：f 1(x)1 一 F2(x)+f2(x)1 一 F1(x)0； 规范性： 一 +f1(x)1一 F2(x)+f2(x)1 一 F1(x)dx =一 +f1(x)dx+一 +f2(x)dx一 +f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx =2 一F 1(x)F2(x)一 +=21=18 【正确答案】 D【试题解析】 利用二维正态分布的性质得到 aX+bY
10、服从一维正态分布又因为PaX+bY1= ，所以 E(aX+bY)=1，即 +2b=1选项中只有 D 满足此条件二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 (一 1)n(2n)!【试题解析】 由泰勒级数的唯一性知：对于 n=0，1，2，有11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 令X1=A，Y一 2)=B，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将欲证结论中的 换成 x 得(2x+1)f(x)+xf(x)=0，即上式
11、两端求不定积分得 ln|f(x)|=一 2x 一 ln|x|+ln|c|，即 c=xe2xf(x)，故可构造辅助函数 F(x)=ze2xf(x)，则 F(x)在0 ，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=0，F(1)=e 2f(1)=0，所以 F(x)在闭区间0，1上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点 (0，1)，使得 F()=0，故(2+1)f()+16 【正确答案】 令 x0= ，将 f(t)在 x0 点泰勒展开 f(t)=f(x0)+f(x0)(t 一 x0)+ (t一 x0)2，令 t=x3 得 f(x3)+f(x0)+f(x0)(x3 一 x0)+ (x3 一 x17 【正确
12、答案】 因为 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，所以 2xdx6xdy6ydx 上20ydy2ydz2zdy2zdz=0 从而解得18 【正确答案】 ()方程(*)对应的齐次方程的特征方程为 2 一 一 6=0，所以特征根为 1=一2， 2=3方程(*) 对应的齐次方程的通解为 Y=c1e 一 2t+c1e3t设 y*=tae3t 是方程(*)的一个特解，代入方程(*)可得 所以 是方程(*)的一个特解，因此方程(*)的通解为19 【正确答案】 20 【正确答案】 () 由题意知 A 的特征值为 1=2=0， 3=2设 3 为 A 的属于特征值 3=2 的特征向量，则 3
13、分别 1， 2 正交，记 3=(t1，t 2，t 3)T，有故可取 t1=1，t 221 【正确答案】 本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法，是一道有难度的综合题 (I)由 A2+A=0，得(A+E)A=0 又 A 非零，从而方程组(A+E)x=0有非零解，于是|A+E|=0，即| 一 E 一 A|=0， 所以 =一 1 是矩阵 A 的特征值 同理可证 =一 1 也是矩阵 B 的特征值 ()由 1 是矩阵 A 属于 =一 1 的特征向量，即 1=一 1 等式两边左乘 B，得 BA1=一 B1 22 【正确答案】 ()X 1， X2 的可能取值为一 1，1，令 Y=Y1+Y2+Y3，则YB(3，p) ，于是 P(X 1=一 1，X 2=一 1)=P(Y1，Y2)=P(Y=0)+P(Y=3)=(1 一 p)3+p3， P(X1=一 1，X 2=1)=P(Y1，y=2)=P(Y 一 2)=3p23 【正确答案】 () 先求 的最大似然估计，似然函数为得 的最大似然估计值为由于 为单调增函数，故由最大似然估计的不变性知 U 的最大似然估计值为 ()已知 的最大似然估计为 ，而=PX2)=1 一 P(X2)=1(2一 )为单调增函数，由最大似然估计的不变性得=PX2)的最大似然估计值为
