1、考研数学（数学一）模拟试卷 437 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 又设 f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足 x2f“(x)一f(x) 2=xg(x)则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值（D）f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定2 设 f(x)在区间(一，+)上连续且严格单调增加，又设则 (x)在区间(一，+)上( )（A）严格单调减少（B）严格单调增加（C）存在极大值点（D）存在极小值点3 设 则 f(x，y
2、)在点 O(0，0)处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可微（D）可微4 下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(一，+) 上连续；设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在( 一 ，+)上有界； 设 f(x)在(一，+)上为正值的连续函数，则 在(一 ，+)上也是正值的连续函数；设f(x)在(一，+)上为正值的有界函数，则 在(一，+) 上也是正值的有界函数其中正确的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵则下列关系错误的是 ( )（A）A，B 等价（B） AB，BA 相似（C） A，
3、B 合同（D）A 2，B 2 合同6 设 A 是 3 阶矩阵 1=(1，2，一 2)T， 2=(2，1，一 1)T， 3=(1，1，t) T 是线性非齐次方程组 Ax 一 b 的解向量，其中 b=(1，3，一 2)T，则( )（A）t=一 1 时，必有 r(A)=1（B） t=一 1 时，必有 r(A)=2（C） t一 1 寸，必有 r(A)=1（D）t一 1 时，必有 r(A)=27 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“ 正面和反面各至少出现一次” ，则 ( )（A）n=2 时，A 与 B 相互独立（B） n=2 时，A B（C） n=2 时，A 与
4、 B 互不相容（D）n=3 时，A 与 B 相互独立8 设随机变量 X1，X n(n1)独立同分布，其方差 20，记(1kn)，则 (1s，tn)的值等于( )（A）（B）（C） 2maxs，t（D） 2mins，t)二、填空题9 已知 f(x)=arctan(x1) 2，f(0)=0 ，则 01f(x)dx=_10 设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z=6+x2+y2(6z7)，方向取上侧则曲面积分11 椭圆 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面 S 的面积=_ 12 13 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，a，b，c 是实数，已知14 设 X1，X 2，X n 为来自标准正态
5、总体 X 的简单随机样本，记则 E(T2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 围成的两块区域，求二重积分16 将函数 展开成(x 一 2)的幂级数，并求出其收敛范围17 设微分方程 xy+2y=2(ex 一 1)( )求上述微分方程的通解，并求 存在的那个解(将该解记为 y0(x)，以及极限值 ( )补充定义使 y0(x)在 x=0 处连续，求 y00(x)，并请证明无论 x0还是 x=0，y 0(x)均连续，并请写出 y0(x)的表达式18 设 x0，证明： 且仅在 x=1 处等号成立19 设点 M(，)是椭球面 上第一象限中
6、的点， S 是该椭球面在点M 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧求点( ，) 使曲面积分为最小，并求此最小值20 设 A 是 mn 矩阵，B 是 mn 矩阵，已知 Em+AB 可逆()验证 En+BA 可逆，且(E+BA) 1 =EB(Em+AB)1 A；()设 其中a1b1+a2b2+a3b3=0证明：W 可逆，并求 W1 21 ()设 f(x1，x 2，x 3)一 x12+2x22+6x32 一 2x1x2+2x1x36x2x3，用可逆线性变换将 f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换并说明二次型的对应矩阵 A 是正定矩阵；( )设 求可逆矩阵 D，使 A=DTD22 设在某段时间
7、内来到证券交易所的人数 X 服从参数为 的泊松分布，每个来交易所的人购买 A 股的概率为 p假设股民之间是否购买 A 股相互独立，试求在该段时间内交易所 X 人中共有 Y 人买 A 股的数学期望23 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量 ()求 Y的分布函数 FY(y)；() 求 Y 的数学期望 EY考研数学（数学一）模拟试卷 437 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故 f(0)为f(x)的一个极小值2 【正确答案】 B【试题解析】 令上式分子为 (x)=(xa)f(x)一 axf(t)dt=(x 一
8、a)f(x)一(x 一 a)f()=(xa)f(x)一 f()，其中，当 ax 时，ax，从而 f()f(x) ；当 ax 时，ax，从而 f()f(x) 所以不论 ax 还是 ax，总有 (x)0所以当 xa 时 (x)0从而知在区间(一，a)与 (a，+)上 (x)均为严格单调增加以下证明在区间 (一 ，+) 上 (x)也是严格单调增加事实上，设 x2(a，+)，则其中 a 2x 2+，此 2 可取在开区间(a， x2)内同理，设 x1(一 ，a)，则有 (x)一 (x1)=f(a)一 f(1)0，其中一x 1 1a合并以上两个不等式，有 (x2)一 (x1)03 【正确答案】 C【试题解
9、析】 所以fx(0，0)=0，f y(0，0)=0若在点 0(0，0)处可微，则应有但是上式并不成立，事实上，所以 f(x，y)在点O(0，0)处不可微故应选(C) 4 【正确答案】 B【试题解析】 与 是正确的， 与是不正确的，理由如下： 是正确的设 x0(一，+)，则它必含于某区间 a，b中，由于题设 f(x)在任意闭区间a，b上连续，故在 x0 处连续，所以在(一 ，+)上连续论证的关键之处是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续是正确的设 x0(一，+) ，则 f(x0)0，且在 x0 处连续由连续函数的四则运算法则知， 在 x0 处也连续，
10、所以 且在(一，+)上连续是不正确的反例：设 f(x)=x，在区间 这个界与a，b有关，容易看出，在区间(一 ，+) 上 f(x)=x 就无界了是不正确的反例：f(x)=e x2，在区间(一，+) 上 0f(x)1，所以 f(x)在(一，+)上为正值的有界函数，而 在(一，+)上无界，这是因为当 x时， 故应选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 成立，A，B 均是可逆矩阵，均可以通过初等行变换化成单位矩阵，即有可逆矩阵 P，Q，使得 PA=QB=E，即有 Q1 PA=B，故 A B(B)成立，取可逆矩阵 P=A，则有 P1 (AB)P=A1 (AB)A=BA故 ABBA(D)成立，
11、A ，B是实对称可逆矩阵，特征值分别为 i， i(i=1，2，n) 均不为零，A i2，B i2 的特征值分别为 i20， i20，(i=1，2，n)A 2，B 2 均是正定矩阵它们的正惯性指数均为 n(负惯性指数为零)故 由排除法，应选 (C)对于(C)，取均是可逆的实对称矩阵，但 A 的正惯性指数为 2，B 的正惯性指数为 1，故 A，B 不合同6 【正确答案】 C【试题解析】 由 1， 2， 3 是Ax=b 的解向量，t一 1 时， r(B)=3，知 1， 2， 3 线性无关， 1 2， 2 3 是对应齐次方程组 Ax=0 的两个线性无关解，故 r(A)1，但 AO(若 A=0，则 Ax
12、=b 无解，这和题设条件矛盾)，故必有，r(A)=1，故应选(C) 7 【正确答案】 D【试题解析】 当 n=2 时， 由 P(AB)P(A)P(B)知 A 与 B 不相互独立，排除(A)又 P(A)P(B)知 A B，排除(B)AB=B，故 A 与 B 互不相容不成立，排除(C)当 n=3 时，由上知 P(AB)=P(A)P(B)，因此 A 与 B 相互独立故应选(D) 8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 f(x)=f(0)+ 0xf(t)dt=0xarctan(t1) 2dt，10 【正确答案】 0【试题解析】 添平面 S1： z=7(x2+y21)
13、，向下，11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 (cb)a【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 区域 D 如图所示，第一象限部分记为 D1，第三象限部分记为D2，于是令 x=一t，则第 2 个积分与第 1 个积分可合并，第 3 个积分与第 6 个积分相抵消，第 4 个积分与第 5 个积分相抵消于是16 【正确答案】 令 u=x 一 2，于是 x=u+2，又因当x=3 时，上述级数发散，当 x=1 时，上述级数收敛，且当 x=1 时，f(x)连续，故知收敛范围为 1x3
14、17 【正确答案】 () 当 x0时，原方程化为 由一阶线性方程的通解公式，得通解 其中 C 为任意常数由上述表达式可知，并不是对于任何常数 C， 都存在，存在的必要条件是 y0(x)在 x=0处连续又显然，y 0(x)在 x0处也连续，故无论 x0还是 x=0，均连续。18 【正确答案】 从而知，当Ox1 时，(x)0，即有 F“(x)0因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0又因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0，从而知当 0x1 时，19 【正确答案】 曲面 上点 M(， )处的法向量为 ，切平面方程是 化简即得 该切平面被三坐标面截得的三角形在 xOy 平面上的投影
15、区域为求 I 的最小值等价于求 =，0 a，0b，0c 的最大值，约束条件是由拉格朗日乘数法得 显然，当 =a 或 =0时， 最小，故当 时，叫最大，I 的最小值为20 【正确答案】 在不存在歧义的情况下，简化记号，省略 E 的下标 m，n()因(E+BA)EB(E+AB)1 A=E+BA 一 B(E+AB)1 ABAB(E+AB)1 A=E+BA 一B(E+AB)(E+AB)1 A=E+BA 一 BA=E，故 E+BA 可逆，且(E+BA) 1 =EB(E+AB)1 A 由()知E+AB 可逆，则 E+BA 可逆， N(E+BA)1 =EB(E+AB) 1 A反之若 E+BA 可逆，则 E+
16、仙可逆，且(E+AB) 1 =EA(E+BA) 1 B因为 E+BA=E+(b1，b 2，b 3)=E+a1b1+a2b2+a1b3=E+0=E，故 E+BA 可逆，(E+BA) 1 =E故 W=E+AB 可逆，且 W1 =EA(E+BA)1 B= .E.(b1，b 2，b 3)21 【正确答案】 (1)将 f(x1，x 2，x 3)用配方法化为标准形，得 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+6x23 一 2x1x2+2x1x3 一 6x2x3 一(x 1x 2+x3)2+x22+5x23 一 4x2x3=(x1x 2+x3)2+(x22x3)2+x23得厂的标准形为 f(x1，x
17、2，x 3)=y12+y22+y32所作的可逆线性变换为 x=Cy，其中 C=A 对应的二次型的规范形为 y12+y22+y32，正惯性指数 P=3=r(A)，故知 A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明 A 是正定矩阵)()由() 知， 是 f(x1，x 2，x 3)的对应矩阵，即 f(x1，x 2，x 3)=xTAx令 x=Cy，其中 ，得 f=xTAx=yTCTACy=yTEy，故CTAC=E，A=(C 1 )TC1 =DTD，其中 D=C1 22 【正确答案】 Y=r 表示“有 r 个人买 A 股”，X=i 表示“ 有 i 个人来到交易所”，i=r，r+1， 于是，由全概率公式有 从此可看出 X 人中购买 A 股的人数 y 服从参数为 p的泊松分布，所以 EY=p23 【正确答案】 () 先画出 (0X1)的图像由分布函数定义 FY(y)=PYy，有当 y0 时，F Y(y)=0；当 y1时，F Y(y)=PYy)=1；
