1、考研数学（数学一）模拟试卷 451 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y= 有( )渐近线（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条2 设函数 f(x)三阶可导，且满足 f(x)+f(x)2=x，又 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)既不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x)= 又设 f(x)展开的正弦级数为 S(x)= 则 S(3)=( )（A）(e+1)2（B） (e
2、 一 1)2（C）一 (e+1)2（D）一(e 一 1)24 微分方程 y+2y+y=xex 的特解形式为( )（A）(Ax+B)e x（B） (Ax2+Bx)ex（C） (Ax3+Bx2)ex（D）Ax 3e x5 已知 1， 2， 3 是 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以表示为( )（A）P 1， 2， 3的三个列向量，其中 P33 是可逆阵（B） 1， 2， 3Q33 的三个列向量，其中 Q33 是可逆阵（C） 1， 2， 3 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3 的一个等秩向量组6 A 是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为 2，则 ( )（A）A 必有特征值 12（
3、B） A1 必有特征值 12（C） A 必有特征值2（D）A 1 必有特征值27 设 A，B，C 是三个随机事件， P(ABC)=0，且 0P(C) 1，则必有( )（A）P(ABC)=P(A)P(B)P?（B） P(A+B)C)=P(A C)+P(BC)（C） P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P?（D）P(A+B) )8 已知随机变量 X 的概率分布 P(X=K)=a e ，其中 0，k=1，2，则 E(X)为( )（A）（B） e（C） (e 一 1)（D）e (e 一 1)二、填空题9 设 f(x)= 若 f(x)在点 x=0 处可导，则a=_，b=_10 设幂级数 anxn 的收
4、敛半径为 3，则幂级数 nan(x 一 1)n+1 的收敛区间为_11 设 z= f(u，v)dvdu，其中 f(u，v) 是连续函数，则 dz=_12 =_，其中 L 为 x2+2y2=1 的正向13 A 是 n 阶矩阵，AX=b 有唯一解，则二次型 f(x1，x 2，x n)=XT(ATA)X 的正惯指数 p=_14 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)如果二阶行列式 Y= 的方差 D(Y)= ，则 2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b) 内可导，且 f(x)
5、0证明函数F(x)= f(t)dt 在(a ，b)内也有 F(x)017 (I)试证明：当 0x 时， sinx()求级数的和18 设 f(x)和 g(x)在a，b 上连续，试证至少有一点 c(a，b)，使 f(c) g(x)dx=g(c)f(x)dx19 设函数 f(r)(r0)有二阶连续导数，并设 u=f( )满足 div(gradu)=求 u 的一般表达式20 设 A= (1)将 A 表示成若干个初等矩阵的乘积；(2)将 A 表示成一个主对角元为 1 的下三角矩阵 R 和一个上三角矩阵 S 的乘积21 已知四元齐次线性方程组(i) 的解全是四元方程(ii)x 1+x2+x3=0 的解(1
6、)求 a 的值；(2)求齐次方程组(i)的通解；(3)求齐次方程(ii)的通解22 设某种器件使用寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布，其平均使用寿命为 20 小时在使用中当一个器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此连续下去已知每个器件进价为 a 元，试求在年计划中应为此器件做多少预算，才可以有95的把握保证一年够用(假定一年按 2000 个工作小时计算)23 设 XB(1，p)，X 1，X 2，X n 是来自 X 的一个样本，试求参数 p 的极大似然估计考研数学（数学一）模拟试卷 451 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解
7、析】 因 =，故 X=0 是一条铅直渐近线又因 =0，故 y=0 为一条水平渐近线下求斜渐近线因故 y=x+1是其一条斜渐近线仅(D)入选2 【正确答案】 C【试题解析】 将 x=0 代入所给方程，得到 f(0)=0在所给方程两端对 x 求导，得到 (0)=10=10由，得到 =10由极限的保号性知f(x)在 x=0 的左右两侧异号，故点(0，f(0)为 f(x)的拐点仅(C) 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 因 S(x)是以 4 为周期的奇函数，故 S(3)=S(41)=S(1)= S(1)因x=1 为 f(x)的不连续的分段点，故 S(1)= f(1+0)+f(1 一 0)= (1+
8、e)，所以 S(3)=S(1)= (1+e)仅(C)入选4 【正确答案】 C【试题解析】 易知所给方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2+2r+1=(r+1)2=0， 故=1 为其二重根，而 =1 又是非齐次项的指数，所以特解形式应为 y*=x2(Ax+B)ex =(Ax3+Bx2)ex 仅(C) 入选5 【正确答案】 B【试题解析】 方法一 对于 1， 2， 3Q，因 1， 2， 3 线性无关，且 Q 可逆，故 r(1， 2， 3Q)=3， 1， 2， 3Q 的三个列向量仍然线性无关又因Ai=0(i=1，2 ，3) ，故 A 1， 2， 3=O， 两边右乘 Q 得 A 1， 2， 3Q=O.
9、Q=O， 故 1， 2， 3Q 的三个列向量仍是 AX=0 的解向量，且线性无关的解向量个数为 3 个，故它们仍为基础解系仅(B)入选 方法二 对于(A)，因P33i 不一定是 AX=0 的解(AP 33i0) 对于(C)，与 1， 2， 3 等价的向量组，其向量个数可以超过 3 个(其秩等于 3)，且可以线性相关，还可以是用 1， 2， 3相互线性表出的向量组 对于(D)，因与 1， 2， 3 等秩的向量组可能不是 AX=0的解向量，且个数也可以超过 3 个，故(A)、(C) 、 (D)均不满足基础解系的条件，都不能入选仅(B)入选6 【正确答案】 B【试题解析】 设 A= ，则 AT= 由
10、题设有 A 的各列元素之和为 2，即 由特征值定义可知，2 为 AT 的一个特征值又 AT 与 A 有相同的特征值，故 =2 也是 A 的一个特征值，所以 1=12 为 A1 的一个特征值仅(B) 入选7 【正确答案】 B【试题解析】 P(A+B) C)=P(A+B)C)P(C)=P(AC+BC)P(C)=P(AC)+P(BC)一 P(AC.BC)P(C)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)P(C)=P(AC)+P(BC)P(C)=P(AC)P(C)+P(BC)P(C) =P(AC)+P(BC) 仅 (B)入选8 【正确答案】 D【试题解析】 因所给的分布与泊松分布仅差 k=0 这一项，添
11、加这一项得到 1=ae 一 ae =a.1 一 ae =a(1 一 e )，故a= ，于是 仅(D)入选二、填空题9 【正确答案】 0 1【试题解析】 f(x)在点 x=0 处连续，故 f(00)=f(0+0)， 即 (bx+a)=a由(ex 一 1 一 ax)=11=0， 得到 a=0又 f (0)= (ex 一 1 一 ax)= ex 一 a=1一 a，f +(0)= (bx+a)=b，由 f (0)=f+(0)得到 1 一 a=b，故 b=110 【正确答案】 一 2x4【试题解析】 已知幂级数 anxn 的收敛半径为 3，凡幂级数含其系数 an 为因子系数，其他因子可为 n 的幂函数，
12、且与该幂级数的收敛中心及 n 的起始值无关，符合上述条件的新的幂级数的收敛半径相同例如级数 nan(x一 1)nk 等收敛半径都是相同的，但不能确定这些幂级数在收敛区间的端点处的敛散性利用上述结论即得新级数的收敛半径，因而可直接得出其收敛区间由上述分析易知，幂级数 nan(x1) n+1 的收敛半径也为 3，因而得到x13，即一2x4 为所求的收敛区间，但不能判定其在 X=2 及 x=4 处的敛散性11 【正确答案】 f(xy2，v)dv(y 2dx+2xydy)【试题解析】 方法一 利用一阶全微分形式不变性求之：方法二 先求偏导数 ：f(xy2，v)dv.y 2，f(xy2，v)dv.(2x
13、y)，故 dz=f(xy2，v)dv(y 2dx+2xydy)12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 n【试题解析】 因 Ax=b 有唯一解，故 Ax=0 只有零解，则任意 X0，必不是 AX=0的解，即 Ax0，从而对任意 X0 有 f=X T(ATA)X=(AX)TAX0， 即二次型 f 为正定二次型，故 f 的正惯性指数为 n14 【正确答案】 1(2 )【试题解析】 利用方差的性质及方差的计算公式 D(X)=E(X2)一E(X) 2 求之由于Xi 相互独立，X 1X4 与 X2X3 也相互独立，且 XiN(0， 2)依题意知 14=D(Y)=D(X1X4 一 X2X3)=
14、D(X1X4)+D(X2X3)，其中 D(XiXj)=E(XiXj)2 一E(X iXj)2 =E()一E(X i)E(Xj)2 (因 E(Xi)=E(Xj)=0) =E( )=D(Xi)+E(Xi)2D(Xj)+E(Xj)2 =D(Xi)D(Xj)=(2).(2)(ij)=4，则 14=D(Y)=D(X 1X4)+D(X2X3)=4+4=24，故 4=18， 2=1 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【试题解析】 用换底法和等价无穷小代换求之，也可用重要极限和洛必达法则求之16 【正确答案】 由 f(t)在 a，b上连续，故 f(t)dt 在区间a ，b内
15、可导，于是 F(x)= f(t)dt由定积分中值定理得 f(t)dt=f()(x 一 a)，其中 在a ，x上，于是 由于f(x)0，故 f(x)单调下降，所以 f(x)f()又 ax，故 F(x)0【试题解析】 为证 F(x)0，必须利用 f(x)0 的条件，为此必须要去掉积分号对 F(x)求导后，如还剩有积分号，这时常用积分中值定理去掉17 【正确答案】 (I)令 f(x)=sinx，将其在(0，) 展成余弦级数因 bn=0，()在式中令 x=0，得到【试题解析】 注意到待证等式左边为余弦级数，右边为正弦函数，这表明应将函数 f(x) =sinx 在(0，)上展成余弦级数于是待证的问题就转
16、化为大家熟悉的傅里叶级数展开的问题这里要注意不要习惯地总是从等式左边证到右边，如果本题这样去证，困难就很大了18 【正确答案】 由上述证题思路易知，应设辅助函数 F(x)= g(t)dt由f(x)，g(x) 在a，b 上连续，可知 F(x)存在，且 F(x)=f(x) 4f(t)dt， xa，b， 又 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知，至少存在一点 c(a，b)，使 F(c)=0由式 即得 f(c) f(x)dx【试题解析】 将定积分中值等式中的中值 c 改为变量 x，得到 f(x)f(t)dt，并将 f(x)视为 f(x)=( f(t)dt)，将 g(x)视为 g(x)=( g(t)dt
17、)，将待证等式化为19 【正确答案】 gradu= ，则 为方便计，令 r= ，则即 r2f(r)+2rf(r)=r3， 亦即 r 2f(r)=r3解之得 r 2f(r)=+c2故 u=f(r)=+c2【试题解析】 先求出 div(gradu)建立关于 u 的微分方程，然后求解20 【正确答案】 (1) 用初等矩阵表示上述变换关系，得到 E12(2)E 2( )E21(一 3)A=E，则 A=E 21(一 3)1 E2()1 E12( 2)1 E=E21(3)E2(5)E 12(2)E= (2)其中 R=为主对角元为 1 的下三角矩阵，S= 为上三角矩阵【试题解析】 先将 A 用初等行变换化成
18、单位矩阵，然后将其行变换用初等矩阵表示，于是若干个初等矩阵左乘 A 等于单位矩阵再求出这些初等矩阵的逆矩阵 (它们仍然是初等矩阵)，即可得到用初等矩阵的乘积表示的矩阵 A21 【正确答案】 (1)因方程组(i) 的解全是方程(ii)的解，故方程组(i)与方程组(iii)同解，且其系数矩阵有相同的秩，因而 a0这是因为：如 a=0，则 r(A)=1， r(B)=2当 a0 时，易求得 r(A)=3这是因为 A 中有子行列式 对 B 进行初等行变换，得到故当 2a1= 即 a=12 时，r(B)=3此时方程组(i)与方程组(iii)同解(2)由 A 及基础解系的简便求法，即得方程组 (i)的基础解
19、系为 =一 12，一 12，1，1 T，其通解为 k，k 为任意实数(3)注意到方程(ii)为四元方程，即 x1+x2+x3+0x4=0由 即可写出其基础解系为1=一 1，1，0，0 T， 2=一 1，0，1，0 T， 3=0，0，0，1 T，其通解为k11+k22+k33， 其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【试题解析】 由题设可作出与方程组(i)同解的方程组，即将方程组(i) 与方程(ii)联立得方程组(iii)再利用同解的必要条件：方程组 (i)与方程组(iii)的系数矩阵的秩必相等由此确定 a，再用基础解系的简便求法，即可分别求得方程组(i)与方程(ii)的基础解系，写出其通解 2
20、2 【正确答案】 设年计划购进 n 个此种器件，则预算应为 na 元每个器件使用寿命为 Xi(1in)，则 Xi 相互独立，且都服从参数为 的指数分布依题意知=120， E(X i)=1， D(X i)=1 2，且 n 应使 P( Xi2000)095，即 P(0 Xi2000)0 05由于 n 相当大，且根据独立分布的中心极限定理，得到解得n118，故年计划预算最少为 118a 元【试题解析】 求解与随机变量之和的概率有关的问题时，常利用其分布律进行，但随机变量个数较多时，可利用中心极限定理近似计算23 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是相应于样本 X1，X 2，X n 的一个样本值，X 的分布律为 P(X=x)=px(1p) 1x (x=0，1)，故似然函数为 L(p)= (1p)1x i(可以看成在对应样本观测值处的联合分布律)，故解得 p 的极大似然估计量为【试题解析】 求极大似然估计的关键是要正确写出似然函数对离散型随机变量，其似然函数可以说就是在对应样本观测值处的联合分布律
