1、考研数学（数学一）模拟试卷 496 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)在 x0 的某邻域内连续且 .又设 f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足 x2f(x)一f (x) 2xg(x)则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值（D）f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定2 设 则关于 f(x)的单调性的结论正确的是（A）在区间(，0) 内是严格单调增，在(0， )内严格单调减（B）在区间(，0)内是严格单调减，在(0，)内严格单调增（C）在区间(，0)与(0，
2、) 内都是严格单调增（D）在区间(，0) 与(0，)内都是严格单调减3 设 则 f(x，y)在点 O(0，0)处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可微（D）可微4 设 f(x)在 xx 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx0 处 f(x)存在，则04 的（A）充分必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分条件而非必要条件（D）既非充分又非必要条件5 设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵则下列关系错误的是（A）A，B 等价（B） AB，BA 相似（C） A，B 合同（D）A 2，B 2 合同6 设 A 是 3 阶矩阵， 1 (1，2，一 2)T， 2(2，1，一 1)T，
3、3(1，1，t) T 是非齐次线性方程组 Axb 的解向量，其中 b(1，3，一 2)T，则（A）t一 1 时，必有 r(A )1（B） t一 1 时，必有 r(A )2（C） t一 1 时，必有 r(A )1（D）t一 1 时，必有 r(A )27 设 XN(， 2)，F(x)为其分布函数， 0，则对于任意实数 a，有（A）F(一 a)F(A )1（B） F(一 a)F(A )1（C） F(一 a)F(A )1（D）F( 一 a)F(a)8 甲乙两人约定在 812 点某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y(小时)到达会面地，两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时
4、间为（A） 1/3（B） 2/3（C） 1（D） 4/3二、填空题9 设 f(x)cos 2015x， 是 f(x)的以 2为周期的傅里叶级数，则 a100_10 微分方程 满足 y(0)1/2 的特解是 y_11 设 _.12 函数 f(x， y)39x 一 6y4x 2 一 5y22xyx 32xy 2 一 y3 在点(1，一 1)展开至 n2 的泰勒公式为 f(x，y)_R2，其中余项 R2_13 设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 ABAB，其中 B ,则|AE| _ 14 若 XN(1，4) ，则 D(x2 一 2X)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D(x
5、，y)|x|2，|y|2，求二重积分16 求 yy一 2ymine x，1)的通解17 设有向曲面 S 为锥面 的下侧，且介于 z1 与 z4 之间，f(x，y，z)为连续函数，求第二型曲面积分18 设 f(x)在闭区间0，1上连续， 证明在开区间(0， 1)内存在两个不同的 1 与 2 使 f(1)0，f( 1)018 回答下列问题19 求幂级数 的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数20 求数项级数 的值，应说明理由20 已知 1， 2 及 1， 2 均是 3 维线性无关向量组21 若 不能由 1， 2 线性表出，证明 1， 2， 线性无关22 证明存在 3 维向量 ， 不能
6、由 1， 2 线性表出，也不能由 1， 2 线性表出22 设二次型 f(x1，x 2，x n)x T，且|A|23 证明：存在 n 维列向量 0，使得 0TA00；24 设 ，求 0，使得 0TA0024 设(X，Y)的联合概率密度为25 求 ZX 一 2Y 的概率密度；26 求26 设 X1，X 2,X5 是总体 XN(0,2 2)的简单随机样本 27 令随机变量 ,求 EY 与 DY；28 求随机变量 的分布；29 给定 a(a 05) ，常数 c 满足 PZc a ，随机变量 UF(2 ，1)，求考研数学（数学一）模拟试卷 496 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
7、项符合题目要求。1 【正确答案】 B2 【正确答案】 C3 【正确答案】 C4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 C7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 a 100所以 a100010 【正确答案】 【试题解析】 由初始条件 知，在初值 x0 附近 y0，以 统乘原方程，得 此为伯努利方程令 u ，原方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解所以再将初始条件 y(0) 代入，得 C3，并且“”取“”，故得如上所填11 【正确答案】 【试题解析】 取对数化为 n 项之和12 【正确答案】 【试题解析】 x 0l，y 0一 1，
8、则 f(1，一 1)19 ，f x(x，y)98x2y3x 22y 2， f x(1，一 1)20，f x(x，y)一 610y2x4xy 一3y2， f x(1，一 1)一 1，f xx(x，y)86x， f xx(1，一 1)14，f xy(x，y)24y， f xy(1，一 1)一 2，f yy(x，y)一 104x 一 6y， f yy(1，一 1)0， 所以f(x，y)在点(1，一 1)处的 2 阶泰勒公式为2 阶泰勒公式的余项13 【正确答案】 1/16【试题解析】 由题设，ABAB，(AE)BAEE，(A E)(E 一 B)E，则14 【正确答案】 32【试题解析】 由题意，易知
9、 (0，1)，则 故 D(X2 一2X)D(X 2 一 2X1)D(X 一 1)2 16232三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 区域 D 关于 X 轴对称，关于 y 轴也对称，被积函数 f(x，y)|x 2y 2 一 1|既是 x 的偶函数，也是 y 的偶函数取平面区域 D1(x，y)|0x2，0y2) ，由偶函数及相应的对称性的公式，有再将 D1 分成两块(如图)：G1(x，y)|(x，y) D1 且 x2y 21，G 2(x，y)|(x，y) D1 且x2y 21，于是 采用极坐标：所以 16 【正确答案】 将 yy2ymine x，1 的右边写成分段表
10、达式：yy一 2y 分别解之对于 yy一 2ye x，特征方程为 r2r 一2(r2)(r 1)，对应的齐次微分方程的通解为 YC 1e2x C 2ex令非齐次微分方程的一个特解为 y1*Axe x，由待定系数法可求得 y1* xe x故相应非齐次微分方程的通解为 yC 1e2x C 2ex(x0)对于 yy一 2yl ，容易求得通解为yC 3e2x C 4ex 一 (x 0)为使所得到的解在 x 0 处连续且一阶导数连续，则C1，C 2，C 3，C 4 之间应满足 解得 C3从而得原方程的通解为其中 C1，C 2 为任意常数17 【正确答案】 S 下侧的单位法向量记为 n(cos ，COS
11、，COS )所给曲面可写为 x2y 2 一 z20(1z4)，法向量 n(2x，2y，一 2z)，18 【正确答案】 令所以存在 (0，1) 【注】 ，使 F()e0但 e0，所以 F()0由于已有 F(0)0，F()0，F(1)0，所以根据罗尔定理知，存在 1(0，)， 2(，1)，使F( 1)0，F( 2)0，即 f(1)0，f( 2)0，其中 1(0，)， 2(，1)，证毕19 【正确答案】 令 ux 2，化为 u 的幂级数 易知所以收敛半径 R1，收敛区间为(一 1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(一 1，1)当 x1 时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为一 1，1在
12、收敛域一 1，1 上，令其和函数为在区间(一1，1)内，令因此，当 x(1，1)时，20 【正确答案】 由于幂级数的和函数 S(x)在其收敛域上为连续函数，所以由 ()得到的 S(x)的表达式，有21 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k 3，使得 k11k 22k 30，其中 k30( 若k30，则 (k11k 22)，这和 不能由 1,2 线性表出矛盾)则k11 k22 0已知 1， 2 线性无关，得 k1k 20故 1， 2， 线性无关22 【正确答案】 1， 2 是两个 3 维向量，不可能表出所有 3 维向量， 1， 2，也一样若 不能由 1,2 线性表出，也不能由 1， 2 线性表
13、出，则 即为所求 现设 1 不能由 1， 2 线性表出，但可由 1， 2 线性表出，设为 1x 11x 22； 设2 不能由 1， 2 表出，但可由 1， 2 线性表出，设 2y 11y 22，则向量 1 2 既不能由 1， 2 线性表出，也不能由 1， 2 线性表出，向量 即为所求 因若 1 2k 11k 22，则 1 2(k 1 一 y1)1(k 2 一 y2)2，这和 1不能由线性表出矛盾(或 2 1(k 1 一 x1)1(k 2x2)2,这和 2 不能由1， 2 线性表出矛盾)23 【正确答案】 设 A 有特征值 i，i0，1，2， ，n 一 1，则.可知 A 有奇数个特征值小于零设
14、00，其对应的特征向量为 0，则有 A0 00，其中 00两端左边乘 0T，得 0TA0 00T0。因00，故有 0T00又 00，故 0T0 00T00，得证存在 n 维列向量 0，使0TA0024 【正确答案】 由() 可知先求 A 的特征值(4)( 2 一 7122)( 4)( 一 2)(一 5)得 A 的负特征值 0一 4由(0E 一 A)X(一 4E 一 A)X0【注】对应于 A 的二次型为 f(x1，x 2，x 3)3x 222x 1x28x 1x32x 2x3，取 x20 时，有3x222x 1x22x 2x30只需取 x1,x3 异号，即取 0(一 l，0，1) T 时，有 f
15、0。25 【正确答案】 法一 分布函数法由分布函数的定义 Fz(z)PZz)PX 一2Yz，可知当 z一 1 时，F z(z)0；当一 1x0 时，积分区域如图(a)所示：当 0z1 时，积分区域如图(b)所示： Fz(z)PX 一 2Yz)1 一 PX 一2Yz 当 z1时，F z(z)1综上，法二 公式法概率密度非零区域则26 【正确答案】 法一 为求在 0y1 条件下，,当 所以 法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布条件 Y等价于在直线 AB 上随机投点，再要求 xd2202 等价于范围缩小到 AC 上随机投点，如图所示， 所以27 【正确答案】 设 X1，X 2，X 5 是总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，由得28 【正确答案】 29 【正确答案】
