1、考研数学（数学一）模拟试卷 497 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）1/2（B） 1/3（C） 1/4（D）1/52 设数列a n单调增加且有上界， 为常数，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关3 设 g(x)在(一，)内存在二阶导数，且 g(x)0令 f(x)g(x)g(一 x)，则当 x0 时（A）f(x)0（B） f(x) 0（C） f(x)与 x 同号（D）f(x)与 x 异号4 设 f(x)连续且 f(x)0，F(x) ，则 F(x)F(x)（A）f(x)sin x（B） f(x)cos x（C） f(x
2、)(sin xcos x)（D）f(x)5 设 n 阶行列式 D 中有一行元素及其余子式均为 a(a0)，k 是自然数，则（A）n2k，D0（B） n2k1，D0（C） n2k，Da 2（D）n2k1，Da 26 设 是 2 阶实矩阵，则下列条件不是 A 相似于对角阵的充分条件的是（A）adbc0（B） b，c 同号（C） bc（D）b，c 异号7 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据： 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合且无区别标志现从仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，则最有可能来自（A）元件制造厂 1（B）元件制造厂 2（C）元件制造厂 3
3、（D）无法判断8 设 X1，X 2，X n 是取自总体 XN( ， 2)的简单随机样本样本均值,样本方差 则下列说法不一定正确的是（A）样本均值 是 的无偏估计、一致估计（B）样本方差 S2 是 2 的无偏估计、一致估计（C） 是 2 的一致估计，但不是无偏估计（D）样本标准差 S 是 的无偏估计，但不是一致估计二、填空题9 已知 f(x)arctan(x 一 1)2，f(0) 0,则 _ 10 设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z6x 2y 2(6z7)，方向取上侧则曲面积分 _.11 椭圆 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面 S 的面积_12 设13 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n
4、 维列向量，a，b，c 是实数，已知则 _.14 设(X，Y)的联合分布列如下，且 X 和 Y 相互独立，则 E(XY)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 l 为从点 A(一 ，0)沿曲线 ysin x 至点 B(，0) 的有向弧段，求15 设 f(x，y)在平面区域 D(x，y) |x 2y 21上有二阶连续偏导数，且，l 为 D 的边界正向一周16 证明17 求二重积分17 设 是常数，考虑积分18 证明上述积分总是收敛的；19 求上述积分的值19 设 n 为正整数，F(x)20 证明：对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零(实)点，并且是正的，记该零点为an；2
5、1 证明幂级数 ，在 x一 1 处条件收敛，并求该幂级数的收敛域21 设微分方程22 做自变量变换 tln x 以及因变量变换 z ，请将原微分方程变换为 z 关于 t 的微分方程；23 求原微分方程的通解.23 设 A ，X 是 2 阶方阵24 求满足 AX 一 XAO 的所有 X；25 方程 AX 一 XAE，其中 E 是 2 阶单位矩阵，问方程是否有解若有解，求满足方程的所有 X，若无解，说明理由25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)x TAx(x 1，x 2，x 3) ，满足2，ABO，其中 B26 用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；27 求该二次型；28 f(x1，x
6、 2， x3)1 表示什么曲面?28 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)29 求 fX(x)，f Y(y)，判断 X 与 Y 是否独立?30 记 UX，VYX，求(U，V)的分布函数 F(u，v)，并判断 U，V 是否独立?30 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x) X1，X 2，X n 为 X 的简单随机样本31 求未知参数 的矩估计量和最大似然估计量；32 的矩估计量是否为 的无偏估计?考研数学（数学一）模拟试卷 497 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 C3 【正确答案】 D4 【正确答案】 D
7、5 【正确答案】 A6 【正确答案】 D7 【正确答案】 B8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 0【试题解析】 添平面 S1： z7(x 2y 21)，向下，11 【正确答案】 【试题解析】 由题可知 y12 【正确答案】 【试题解析】 一方面，因为而另一方面，由夹逼定理13 【正确答案】 (c 一 b)a【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 求 a，b 的值有两种方法法一 利用独立性定义，有法二 由联合概率矩阵 的秩等于 1，可知道矩阵任两行(或两列)成比例由第 2 列知第 1 行是第 2 行的 1/3 倍，所以 ；由第 1 行知第3
8、列是第 2 列的 2 倍，所以 故(X，Y) 的联合分布列为所以 E(XY)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 如图所示，添加有向直线段 y0，自点 B(，O) 至点 A(一 ，0)，其中自点 B 至点 O(0，0)的有向直线段记为 l1，点 0(0，0)至点 A 的有向直线段记为 l2，曲线 ysin x(一 x)与 l1l2 构成 8 字形分别围成的两个有界闭区域，记为 D1 与 D2D 1 的边界走向为负向，D 2 的边界走向为正向由格林公式，可得 I由于又sin xdx0，所以 I216 【正确答案】 由格林公式，P(x，y)(x 2y 2)f y，Q
9、(x ，y)一(x 2y 2)f x，则17 【正确答案】 由() 并利用条件 有对于上面右边第一式，由于在 l 上，x 2y 21，于是18 【正确答案】 由() 并利用条件 有对于上面右边第一式，由于在 l 上，x 2y 21，于是19 【正确答案】 作积分变量代换，令 I从而 2I所以20 【正确答案】 所以对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零点，记为 an，且21 【正确答案】 由于 ，所以有所以a n严格单调减少且 0 由莱布尼茨定理知 收敛但 ，所以 发散所以幂级数在 x一 1 处条件收敛，且收敛域为一 1，1)22 【正确答案】 由 tln x，有得，再由 z 得 z 关于 t
10、 的微分方程为23 【正确答案】 由上述方程 解得得，解得其中 C1，C 2 为任意常数24 【正确答案】 用待定元素法求 X 设 X ，代入方程，则 AXXA各元素为零，得齐次线性方程组记作 Bx0对系数矩阵 B 作初等行变换 B得基础解系 1(2，2，1，0)T， 2(1，0，0，1) T，通解为 ，其中 K1，K 2 是任意常数则 X ，其中 K1，K 2 是任意常数25 【正确答案】 设 X 由()有，AXXAE得线性非齐次方程组显然，方程组中第 1 个和第 4 个方程是矛盾的，故 AxXAE 无解( 或由(B|b)作初等行变换，证明 r(B)r(B|b)26 【正确答案】 由题设条件
11、 ABA O，故 B 的 3 个列向量都是Ax0 的解向量，也是 A 的对应于 0 的特征向量，其中 1 ，线性无关且正交， ，故 0 至少是二重特征值又因，另一个特征值是 32，故 1 20 是二重特征值因 A 是实对称矩阵，故对应 32 的特征向量应与 1， 2 正交，设 3(x 1，x 2，x 3)1，则有故存在正交变换 xQy, 其中 Q，使得 fx TAxy T .27 【正确答案】 先求二次型对应矩阵，因 QTAQQ -1AQ ，故 A故所求二次型为 f(x1，x 2， x 3)28 【正确答案】 法一 由标准形知 f(x1，x 2，x 3) 表示两个平行平面.法二由() 得二次型
12、 f(x1，x 2，x 3)，若 f(x1，x 2，x 3)1，得 x1x 2-2x33，表示两个平行平面29 【正确答案】 由随机变量(X，Y)的概率密度得因为 f(x，y)fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立30 【正确答案】 F(u，v)PUu，VvPXu，YXv (一u，v) 若 u0，v0，如图(a) 所示，则 F(u，v)0；若 u0，v0，如图(b)所示，F(u，v) 故 FU(u)F(u，) 因为 F(u，v) F U(u)?FV(v)，所以 U 与 V 独立31 【正确答案】 先求 的矩估计量设 又由于 EX，故再求 的最大似然估计量当 xi0(i1，2，n)时，似然函数为L() 两边取对数 InL() nln 421n(x 1，x 2，x n)一3nln 一 令1nL() 0，得32 【正确答案】 所以 是 的无偏估计
