1、考研数学（数学三）模拟试卷 268 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是 ( )2 设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B） -1（C） 1/2（D）-23 设 f(x)是连续函数，且 ，则 F(x)等于( )4 设幂级数 的收敛半径分别为 ，则幂级数 的收敛半径为( ) （A）5（B）（C） 1/3（D）1/55 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解
2、（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解6 设 A 是 n 阶矩阵，下列不是命题“0 是矩阵 A 的特征值 ”的充分必要条件的是( )（A）A 的行向量组线性相关（B）方程组 AX=0 有非零解（C）对任何非零向量 6，方程组 Ax=6 都没有唯一解（D）存在自然数 k，使得 Ak=D7 设随机变量 X，Y 独立同分布且 X 的分布函数 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（A）F 2(x)（B） F(x)F(y)（C）
3、 1-1-F(x)2（D）1-F(x)1-F(y)8 设总体 X-N(， 2)，其中 2 未知， ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1-a 的置信区间为( )二、填空题9 =_10 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为( n，0)，则=_11 幂级数 的收敛区间为_12 微分方程 满足 y x=1=1 的特解为 y=_13 若 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_14 在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2)，若以 次称量结果的算术平均
4、值，则为使095，n 的最小值应小于自然数_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设函数 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，试证函数在0，+)上连续且单调不减(其中 n0)17 设18 求证：当 x1时，19 设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量) ，Q(P)是单调减函数，如果当价格为 P0，对应产量为 Q0 时，边际收益 ，收益对价格的边际效应 ，需求对价格的弹性为 EP=b1，求 P0 和 Q020 设线性方程组 ()证明：若 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，则此线性
5、方程组无解；() 设 a1=a3=k，a 2=a4=-k(k0)，且已知 1， 2 是该方程组的两个解，其中 1= ，写出此方程组的通解.21 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 x 和 y 满足的条件22 设 A，B 是二随机事件；随机变量试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立23 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X ，而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y，的概率密度 g(u)考研数学（数学三）模拟试卷 268 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】
6、 (A) ，(B)， (C)选项都正确，只有(D)选项错误，如 f(x)=x，满足条 存在，但 f(0+)=1，f (0-)=-1，所以 f(0)不存在故应选(D) 2 【正确答案】 D【试题解析】 本题实际上要求 f(1)，由题设3 【正确答案】 A【试题解析】 ，故选 A.4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 故方程组 Ax=0 一定有非零解，选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 若 0 是矩阵 A 的特征值，则A=0，即 r(A)n，所以方程组AX=0 有非零解，反之若方程 AX=0 有非零解，则 r(A)n ，即A=0，所以 0是矩阵 A 的特征值，选
7、(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 设 Z 的分布函数为 G(x)，因为随机变量 X，Y 独立同分布，所以有G(x)=PZx=PmaxX，Yx=PXxPYx=F(x)F(x)=F 2(x)，故应选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 2 未知，所以选用统计量 故 的置信度为 1-a 的置信区间为二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由题设，10 【正确答案】 e -1【试题解析】 由题设 f(x)=xn，则 f(x)=nxn-1，因而 f(1)=n，则点(1 ，1)处的切线方程为 y-1=n(x-1)，该切线与 x 轴的交点为11 【正确答案】 -3，3)【试题解析】 于是收敛
8、区域为-3， 3)12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查二次型正定的充要条件，即其矩阵的顺序主子式都大于 0，由题设，所给二次型相应的矩阵为 A= 显然，1 阶顺序主子式为20，2 阶顺序主子式为 3 阶顺序主子式=14 【正确答案】 最小值应不小于 16【试题解析】 由题设，X n 为样本均值，对其作线性变换，即令 则由中心极限定理知 Z：N(0，1)，因此其中为标准正态分布，即有 因此 n 的最小值应不小于 16三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设知 f(x)在0 ，+)上连续、单调不减且 f
9、(0)0，此外 F(0)=0，而当 x 0 时， 所以当 x0 时，由积分中值定理知，存在一点 (0，x)，使得 因此由前述知 f()f(x) ，则 F(x)0，因此F(x)在0 ，+) 上单调不减综上， F(x)在0，+) 上连续且单调不减17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 特征方程为E-A= 3-2-+1=(-1)2(+1)=0，即特征值 1=1(二重)， 2=-1，欲使 1=1 有两个线性无关的特征向量线性无关，矩阵 E-A=，于是x+y=022 【正确答案】 由题设，记 P(A)=p1，则 P(X=1)=p1，从而 P(X
10、=-1)=1-p1 记 P(B)=p2，则 P(Y=1)=p2，且 P(Y=-1)=1-p2 因此有 E(X)=p1-(1-p1)=2p1-1，E(y)=p 2-(1-p2)=2p2-1 由于 X，Y 的取值只能为 1 和-1， 从而 P(XY=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=-1，Y=-1) =P(AB)=P(AB)=2P(AB)-p1-p2+1， P(XY=-1)=1-2P(AB)-p 1-p2+1=1-2P(AB)+p1+p2-1=p1+p2-2P(AB)， 所以 E(XY)=2P(AB)-p1-p2+1-p1+p2-2P(AB) =2P(AB)-p1-p2+1-p1-p2+2P(A
11、B)=4P(AB)-2p1-2p2+1， 因此 cov(X，Y)=E(XV)-E(X)*E(Y)=4P(AB)-2p1-2p1+1-(2p1-1)(2p2-1) =4P(AB)-2p1-2p2+1-4p1P2+2p1+2p2-1 =4P(AB)-4p1P2=4P(AB)-P(A)P(B)， 显然 cov(XY)=0 P(AB)=P(A)P(B)， 即 X 与Y 不相关的充要条件是 A 与 B 相互独立23 【正确答案】 由题设，设 FY(y)是 Y 的分布函数， 则由全概率公式，得 U=X+Y的分布函数为 G(u)=PX+Yu=0 3PX+Yu X=1+0 7PX+YuX=2 =03Pyu-1X=1+0 7PYu-2X=2 由已知 X 与 Y 独立，则 PYu-1X=1=PYu-1且 PYu-2X=2=PYu-2 所以 G(u)=03PYu-1+07PYu-2=03F(u-1)+07F(u-2)， 因此 U=X+y 的概率密度为 g(u)=G(u)=03 (u-1)+07(u-2)
