1、考研数学（数学三）模拟试卷 271 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(-，+) 内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） -x0 必是函数-f(-x) 的最小值点（C） -x0 必是函数-f(-x) 的极小值点（D）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)2 如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2 ，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0 ，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )3
2、 设 ，则下列命题正确的是( )4 函数 y=C1ex+C22e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )（A）y -y-2y=3xex（B） y-y-2y=3ex（C） y+y-2y=3xex（D）y +y-2y=3ex5 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关6 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()ATAX=0 必有( ) （A）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解（B） ()的解是
3、( )的解，( )的解也是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解7 设二维随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( ) （A）X=Y（B） PX=Y=0（C） PX=Y=1/2（D）Px=Y=18 设二随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为( ) （A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2二、填空题9 若 g(x)
4、= ，又 f(x)在 x=0 处可导，则 d/dxfg(x) x=0=_10 差分方程 3yx+1-2yx=0 的通解为_11 =_12 幂级数 的收敛半径为_13 若矩阵 A= ， B=A2-3A+2E， 则 B-1=_14 X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0 ，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则P(0Z1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在 (0，3)，使 f()=017 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)
5、就售出，总收入为 R0(元)如果窑藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 ，假定银行的年利率为 r，并以连续复利计算，试求窑藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r=006 时的 t 值18 已知连续函数 f(x)满足条件 ，求 f(x)19 假设曲线 1=1-x2(0x1)与 x 轴，y 轴所围成区域被曲线 2：y=ax 2 分为面积相等的两部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值20 设矩阵 A 与 B 相似，其中 ()求 x 与 y 的值；()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B21 设矩阵 A= ()已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；()求矩阵 P，使(AP) T(
6、AP)为对角矩阵22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i=1/3(i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 fy(y)= ，记 Z=X+Y，()求 PZ12X=0；()求 z 的概率密度23 一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为010，020 和 030，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差 D(X)考研数学（数学三）模拟试卷 271 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为“函数 fx)的极值点不一定是函数
7、f(x)的驻点”，如 f(x)=3-x-1在 x0=1 点处取得极大值 f(1)=3，但 x0=1 点还并不是函数 f(x)的驻点(A) 不对又“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的最值点”，如 f(x)=x3-6x2+9x-1，因为 f(x)在(-，+)内没有最大值，但却在 x0=1 点处取得极大值 f(1)=3而当 x4 时，都有f(x)f(x 0)(D)不对，至于(B)，我们在否定(D) 时，实际上已经得到结论了仍然可举(D)中用过的例子为反例。因此选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)= 0xf(t)dt 的大小与曲线 f(x)与 x 轴所围面积的大小有关因为故
8、应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 依题意，y=Ce x+C2e-2x+xex 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解 相应的齐次方程的特征根是 1=1， 2=-2，特征方程应是(-1)(+2)=0，所以相应的齐次方程为 y+y-2y=0，在(D)中，方程 y+y-2y=3ex 有形如 y*=Axex 的特解(eax 中 a=1 是单特征根) 通过验证知，y *=Axex 是 y+y-2y=3ex 的特解，所以选(D)5 【正确答案】 A【试题解析】 由解的判定定理知 Ax=0 仅有零解 r(A)=r=n，即 A 的 n 个列向量线性无关，故应选(A)
9、 6 【正确答案】 B【试题解析】 若 xi 是 Ax=0 的解，即 Axi=O，显然 ATxi=0； 若 Axi 是 ATAX=0 的解，即 ATAxi=0，则 xiTATAxi=0，即(Ax i)T(Axi)=0 若 Axi0，不妨设Axi=(b1，b 2，b n)T，b 10，则(Ax i)T(Axi)= ， 与(Ax i)T(Axi)=0 矛盾，因而 Axi=0，即()、()同解7 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 相互独立知 PX=Y=PX=-1，Y=-1+Px=1，y=1 =PX=-1*PY=-1+PX=1*PY=1 故应选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 因为
10、U 与 V 不相关的充要条件是 cov(U，V)=0 即 cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y ，X)-cov(Y，Y) =D(x)-D(y)=E(X 2)-E2(X)-E(Y2)-E2(Y)=0，故 B 正确二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 原方程是11 【正确答案】 e【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 B=A 2-3A+2E=(A-2E)(A-E)= 故14 【正确答案】 2/3【试题解析】 Pmin(X，Y)1=PX1Y1=PX1+PY1-PX1，Y1=2/3三
11、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 解16 【正确答案】 由题设，f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上也必然连续，则在0， 2上 f(x)必有最大值 M 和最小值 m，因而 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，从而 ，由连续函数的介值定理，知存在一点0，2 ，使 ，由已知条件 f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知 f()=1，因此 f()=f(3)=1，0 ，21，由罗尔定理知存在 (，3) 0，3)，使 f()=017 【正确答案】 由题设，知年利率为 r，则由连续复利公式，现时本金 A 元，则到 t 年时本金利息合计应为 R(t)=Ae
12、rt，因此，要使 t 年时本金利息合计为 R(t)，则现时本金应为 A(t)=R(t)e-rt，已知这批酒窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 A(t)=Re-rt.18 【正确答案】 方程 两边对 x 求导得 f (x)=3f(x)+2e2x，即f(x)-3f(x)=2e2x，令 x=0，由原方程得 f(0)=1于是，原问题就转化为求微分方程f(x)-3f(x)=2e2x 满足初始条件 f(0)=1 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得f(x)=e3dx(2e2x*e-3dxdx+C)=e3x(2e-xdx+C)=Ce3x-2e2x代入初始条件 f(0)=1，得C=3，从而 f(x)=3
13、e3x-2e2x19 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)因为 AB，故其特征多项式相同，即 E-A=E-B， (+2)2-(x+1)+(x-2)=(+1)(-2)(-y)，令 =0，得 2(x-2)=2y，即 y=x-2，令=1，得 y=-2，从而 x=0()由()知 对应于 A 和 B 的共同的特征值-1、2、-2 的特征向量分别为 1=(0，2，-1)T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，-1) T，则可逆矩阵 ，满足 P-1AP=B21 【正确答案】 () 因为E-A = =(2-1)2-(y+2)+2y-1=0当 =3 时，代入上式解得 y=2于是 A= (II)由 AT
14、=A，得(AP)T(AP)=pTA2P，而矩阵 A2= 考虑二次型xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x34=x12+x22+ 令y1=x1， y2=x2，y 3=x3+(4/5)x4，y 4=x4，得 取 P=，则有(AP) T(AP)=22 【正确答案】 () 因为 Z=X+Y，所以()因为 Z=X+Y，故随机变量 Z 的分布函数 F(z)=PZz=PX+Yz 显然当 z2 时，X，Y 的所有取值均满足上式，即 F(z)=1； 相反当 z-1 时，有 F(z)=0；而当一1z2 时，F(z)=PX+Yz =PYz+1X=-1PX=-1+PYzX=0PX=0+PYz-1X=1
15、PX=1 =1/3(PYz+1+PYz+PYz-1) 当-1z0 时，F(z)=1/3(PYz+1+0+0)=1/30z+1 1dy=1/3(z+1)； 当 0z0z)=1/3(z+1)； 当 1z2 时，F(z)=1/3(PYz+1+PYz+PYz-1) =1/3(1+1+0z-11dy)=1/3(z+1) 故可得到随机变量 Z 的分布函数和概率密度分别为23 【正确答案】 设事件 Ai=部件 i 需要调整i=1，23则 A1，A 2，A 3 相互独立，并有 P(A1)=01，P(A 2)=02，P(A 3)=03，由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，因此 X 的数学期望 E(X)=0PX=0+1PX=1+2PX=2+3PX=3 =00504+10398+20092+30006=06又因为 E(X2)=02PX=0+12PX=1+22PX=2+32PX=3 =00504+10398+40092+90006=082 所以 X 的方差 D(X)=E(X2)-E(X)2=082-06 2=046
