1、考研数学（数学三）模拟试卷 352 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 ( )（A）f(x)在 x=1 连续，在 x=一 1 问断（B） f(x)在 x=1 间断，在 x=-1 连续（C） f(x)在 x=1,x=-1 都连续（D）f(x)在 x=1，、x= 一 1 都间断2 设 f(x)连续，且 =2，则下列结论正确的是 ( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3 设
2、t0则当 t0 时，f(t)= 1-cos(x2+y2)dxdy 是 t 的 n 阶无穷小量，则n 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）84 设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 11(X)+C22(X)+C33(X)（B） C11(X)一 2(X)+C21(1)-3(x)+C32(x)一 3(x)+1(x)（C） C11(x)一 2(x)+C22(x)+3(x)（D）C 11(x)一 2(x)+C21(x)-3(x)+ 1(x)+2(x)+3(x)5 设 A，B 及 A*都是 n(n
3、3)阶非零矩阵，且 ATB=O，则 r(B)等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(一 32， 22，5 3)，则 P-1(A*+2E)P 等于( )7 设随机变量 向量组 1， 2 线性无关，则 X1 一 2，一 1+X2线性相关的概率为( ) 8 设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16 ，且X，Y 的相关系数为 由切比雪夫不等式得 P|X+Y 一 1|10( )二、填空题9 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_10
4、 -11dx-1ax dy=_11 设 y=y(x)由 确定，则 =_，12 微分方程 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1= 为方程组 AX=0 的解， 2= 为方程组(2EA)X=0 的一个解，|E+A|=0，则 A=_14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y N 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本，令 则 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续， 求16 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0 ，1上的最小值为一 1证明：存在(0， 1)，使得 f“()817 计算17 某
5、企业生产某种商品的成本函数为 C=a+aQ+cQ2，收入函数为 R=lQ 一 sQ2，其中常数 a，b， c，l，s 都是正常数，Q 为产量，求：18 当税率为 t 时，该企业获得最大利润时的销售量；19 当企业利润最大时，t 为何值时征税收益最大20 求幂级数 的收敛区域与和函数20 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)= =rn，其中 21 证明方程组 AX=b 有且仅有 n 一 r+1 个线性无关解；22 若 有三个线性无关解,求 a，b 及方程组的通解23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+ax22+3x32 一 2x1x2+6x1x3-6x2x3 的矩阵合同于() 求常
6、数 a；()用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形24 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+y 的密度函数fZ(z)24 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 其中 一 1是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本25 求 的矩估计量；26 求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 352 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(一 1)=0，得 f(x)在 x=-1 处连续由 f(10)=得 x=1 为 f(x)的跳跃问断点，选 (
7、B)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =2，所以由极限的保号性，存在 0，当0|x 1| 时，有 0，即当 x(1 一 ，1)时，f(x) 0；当 x(1，1+)时，f(x)0根据极值的定义，f(1) 为 f(x)的极小值，选(B)3 【正确答案】 C【试题解析】 f(t)= =02d0t(1 一 cosr2dr=0t(1一 cosr2)d(r2)= (1 一 cosr)dr因为即 n=6，选(C)4 【正确答案】 D【试题解析】 显然 C11(x)一 2(x)+C21(x)一 3(x)为 y“+P(x)y+Q(x)y=0 的通解，且 1(x)+2(x)+3(x)为 y“+P(x)y+Q
8、(x)y=f(x)的特解，选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ATB=O 且 B 为非零矩阵，所以方程组 ATX=0 有非零解，从而r(AT)=r(A)n ，于是 r(A*)=0 或 r(A*)=1，又因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1由 r(A2)=1 得 r(A)=n 一 1，从而 r(AT)=n 一 1由 ATB=O 得 r(AT)+r(B)n，于是 r(B)1，又 B 为非零矩阵，所以 r(B)1，于是 r(B)=1，选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 A *+2E 对应的特征值为 1=10， 2=一 2， 3=0，对应的特征向量为1， 2， 3 则一 32，
9、2 1，5 3；仍然是 A*+2E 的对应于特征值 2=一2， 1=10， 3=0 的特征向量，于是有 P-1(A*+2E)P= ，选(B)7 【正确答案】 C【试题解析】 (X 1 一 2，一 1+X2)=(1， 2) 因为 1， 2 线性无关，所以向量组 X1 一 2，- 1+X2 线性无关的充分必要条件是 即X=1，故向量组 X1 一 2，一 1+X2 线性相关的概率为 PX=1= 应选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则 P|X+Y 一 1|10=P|ZE(
10、Z)|10) 选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=1y= 01ln(1+u)du=uln(1+u)|01 一 01 du=2ln2 一1e xsint 一 x+1=0 两边对 t 求导，得y=0t+1ln(1+u)du 两边对 t 求导，得 故12 【正确答案】 【试题解析】 解得 arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为 arcsin =ln|x|+C13 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0， 2=2，
11、因为 A 为实对称阵，所以 1T2=k2 一 2k+1=0，解得 k=1，于是又因为|E+A|=0所以 3=一 1 为 A 的特征值，令 3=一 1对应的特征向量为 3=14 【正确答案】 2(m+n 一 2)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 =1 得 f(0)=0，f(0)=116 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以 f(x)在0，1上取到最小值和最大值，又因为 f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0，1上的最小值为一 1，所以存在 c(0，1)，使得 f(c)=一 1，f(c)=0 ，由泰勒公式得17 【正确答案】 1
12、8 【正确答案】 利润函数为 L=RCtQ=lQ-sQ2 一 a 一 bQ 一 cQ2 一 tQ，令=l 一 2sQ-b-2cQt=0 得 因为 =一 2s 一 2c=一 2(c+s)0，所以 Q= 为企业获得最大利润时的销售量19 【正确答案】 税收函数20 【正确答案】 21 【正确答案】 令 1， 2， n-r 为 AX=0 的基础解系， 0 为 AX=b 的特解，显然 0=0， 1=1+0， n-r+0 为 AX=b 的一组解，令 k00+k11+kn-rn-r=0即 k11+k22+kn-rn-r+(k0+k1+kn-r)0=0 上式左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)b=0，因为
13、 b0 时，k 0+k1+kn-r=0，于是 k11+k22+kn-rn-r=0因为 1， 2， n-r 为AX=0 的基础解系，所以 k1=k2=kn-r=0，于是 k0=0，故 0， 1， n-r 线性无关 若 0， 1， n-r+1 为 AX=b 的线性无关解，则 1=1 一 0， n-r+1=n-r+1-0 为 AX=0 的解，令 k11+k22+kn-r+1n-r+1=0，则 k11+k22+kn-r+1n-r+1-(k1+k2+kn-r+1)0=0 因为 0， 1， n-r+1 线性无关，所以 k1=k2=kn-r+1=0，即 1， 2， n-r+1 为 AX=0 的线性无关解，矛
14、盾，故方程组 AX=b 恰有 n 一 r+1个线性无关解22 【正确答案】 则化为 AX=因为 AX= 有三个非零解，所以AX=0 有两个非零解，故 4 一 r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以 r(A)= =2则 a=一 3，b=一 123 【正确答案】 () 令 A= 则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX因为 合同，所以 r(A)=23，故|A|=0。24 【正确答案】 X，Y 的边缘密度分别为因为 X，Y 独立，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)=f X(x)fY(y)= FZ(z)=PZz=PX+Yz=当 z 0 时，F z(z)=0；当 0z1 时，F Z(z)=0zdx0z-xeydy=0z(1-ex-z)dx =ze-z(ez 一 1)=z+e-z 一 1：当 z1 时，F Z(z)=01dx0z-xeydy=01(1 一 ex-z)dx =1-e-z(e 一 1)=1+e-z 一 e1-z25 【正确答案】 E(x)= 01x(+1)xdx= 令 ，得参数的矩估计量为26 【正确答案】 记样本观察值为 x1，x 2，x n 似然函数为
