1、考研数学（数学三）模拟试卷 358 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是以 3 为周期的可导函数，且 f(一 1)=1，则 =（A）一 4（B） 4（C）（D）2 设 ，则 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小3 设 f(x)是区间 上的正值连续函数，且 ，若把 I，J，K 按其积分值从小到大的次序排列起来，则正确的次序是（A）I，J，K（B） J，K，I（C） K，I ，J（D）J,I,K4 下列级数中属于条件收敛的是5 设 A，B，C 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC
2、=E，则下列结论中不正确的是（A）A TBTATCT=E（B） BAC=CAB（C） BA2C=E（D）ACAB=CABA6 设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是7 袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为8 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记，则 =（A） （B） （C） K2（D） 2二、填空题9 设 f(x)是0，+)上的连续函数，且 当 x0 时成立，则 f(x)=_10 设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f
3、(0)=1，f(0)= ，f“(0)=-1，则 =_11 已知 f(x)在(一，+)内可导，且，则 c=_12 差分方程 满足条件 y0=5 的特解是_13 已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是_14 设随机变量 X1，X 2，X 12 独立同分布且方差存在，则随机变量U=X1+X2+X7，V=X 6+X7+X12 的相关系数 UV=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 (I)求证：f(x) 在0，+) 上连续；()求 f(x)在0，+) 的单调性区间； (III)求 f(x)在0，
4、+) 的最大值与最小值16 设 f(x)=arccosx 且 f(0)=0，求定积分 17 设 z=z(x，y)是由 9x254xy+90y26yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值18 求幂级数 的收敛域 D 与和函数 S(x)19 证明推广的积分中值定理：设 F(x)与 G(x)都是区间a，b上的连续函数，且G(x)0，G(x)0，则至少存在一点 a，b使得20 已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 Ai=ii(i=1，2，3)，令 =1+2+3. (I)证明：，A ，A 2 线性无关； (II)设 P=(，A，A 2)，求
5、P-1AP21 设二次型 xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 A 满足 AB=0，其中(I)用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换；(II)求 (A 一 3E)622 设甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换 3 次，求甲袋中自球数 X 的数学期望23 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p(0p 1) 现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：(I)试验成功率 p 的矩估计值；()试验失败率 q 的最大
6、似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 358 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注意 f(x)也以 3 为周期，f( 一 1)=f(2)，利用导数可求得极限故应选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则 由 ABAC=E 知矩阵 A，B ，C 均可逆，那么由 ABAC=EABA=C -1CABA=E 从而(CABA) T=ET，即 ATBTATCT=E，故(
7、A)正确 由 ABAC=E 知A-1=BAC，由 CABA=E 知 A-1=CAB，从而 BAC=CAB，故(B)正确 由ABAC=BCABA=EACAB=E，故(D) 正确 由排除法可知，(C)不正确，故选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 由 可知矩阵 A 的特征值是 3，一 3，0，故秩 r(A)=2，二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1 (A)中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；(C)中矩阵的特征值为 3，一 3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意 对于(D) ，记其矩阵为 D，由 可知 D 的特征值为 1，一1，0x TAx 与 xTDx 的正
8、、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，符合题意，故应选(D) 注意，(B) 中矩阵的特征值为 1，4，0，正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1，与 A 既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 18【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I) ()()16 【正确答案】
9、 17 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 1 8xdx 一54(ydx+xdy)+180ydy 一 6zdy 一 6ydz 一 2zdz=0， 即 (18x 一 54y)dx+(180y 一 54x一 6z)dy 一(6y+2z)dz=018 【正确答案】 19 【正确答案】 设 F(x)在a，b 上的最大值与最小值分别是 M 与 m，利用 G(x)0且 G(x)0 即知当 xa，b时 mG(x)F(x)G(x)MG(x)， 由定积分的性质即知20 【正确答案】 () 由 A1=1，A 2=22，A 3=33，且 1， 2， 3 非零可知，1， 2， 3 是 A 的不
10、同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性无关 又A=1+22+33，A 2=1+42+93，若 k1+k2A+k3A2=0，即 k 1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0， 则 (k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0由 1， 2， 3 线性无关，得齐次线性方程组 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A,A 2 线性无关 ( )因为 A3=1+82+273=611A+6A2，所以 AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，611A+6A 2)= 故21 【正确答案】 ()由
11、此可知=0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2 是 =0 的线性无关的特征向量根据，有 0+0+3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6因此，矩阵 A 的特征值是 0，0，6 设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有()22 【正确答案】 【试题解析】 为求数学期望应先求出甲袋白球数 X 的概率分布经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论23 【正确答案】 【试题解析】 依题意，试验总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm-1，其中 m=1，2，q=1 一 p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求
