1、考研数学（数学三）模拟试卷 368 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x2 的某邻域内可导，且 f(2)0，又 一 2，则 f(2)( )（A）必是 f(x)的极大值（B）必是 f(x)的极小值（C）不一定是 f(x)的极值（D）一定不是 f(x)的极值2 下列函数中在点 x0 处可微的是( )（A）f(x)e x（B） f(x)arctanx（C） f(x)（D）f(x)arcsin ，x13 函数 f(x，y) 在点(0 ，0)处( )（A）不连续（B）连续，但偏导数 fx(0，0)和 fy(0，0)不存在（C）连续，且偏导数
2、 fx(0，0)和 fy(0，0)都存在（D）可微4 给定两个正项级数 Un 及 Vn，已知 ，当 ( )时，不能判断这两个正项级数同时收敛或同时发散（A）0（B） 12（C） 1（D）25 矩阵 A 与下面矩阵( )相似（A）A 1（B） A2（C） A3（D）A 46 设三元二次型 f(x1，x 2，x 3)X TAX 的正惯性指数 p1，且二次型 A 满足A22A 一 3E0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )（A）（B）（C）（D）7 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 X Y 与 X Y 不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)E(Y)（B） E(X2) (E
3、(X)2E(Y 2)(E(Y) 2（C） E(X2) E(Y2)（D）E(X 2)(E(X) 2E(Y 2)(E(X) 28 若随机变量 XN(2， 2)，且概率 P(2X4)03，则概率 P(X0)等于( )（A）0.2（B） 0.3（C） 0.4（D）0.5二、填空题9 f(x) sint2dt，当 x0 时，f(x) 是 x 的 n 阶无穷小，则 n_10 dx_11 dx_12 微分方程 xdyy(xy1)dx 的通解为_13 设 A，B 均为四阶方阵，r(A)3，r(B) 4，其伴随矩阵分别为 A*，B *，则r(A*B*)_ 14 设随机变量 ，且协方差 cov(X，Y) ，则 X
4、 与Y 的联合分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 xxdx( 不为常数)16 已知 f(x)，g(x) 连续可导，且f(x)g(x)， g(x)f(x)(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程g(x)xg(x)cosx(x) ，求不定积分xf(x)dx 17 设 0a 2，证明存在一点 (a，2)，使得18 设某种商品的销售量 Q 和价格 P 的函数关系是 Q 5，成本 C 与产量Q 的函数关系是 CQ 210Q50(1)求利润 L 与销售量 Q 的函数关系；(2)求使利润最大的销售量及最大利润19 某种商品 t 时期的供给量 St 和需求量
5、Dt 与 Pt 的关系分别为St32P t，D t43P t1 又假定在每个时期中 StD t，且当 t0 时，P tP 0，求价格随时间变化的规律20 已知 A，B 为三阶非零方阵，为齐次线性方程组 BX0 的 3 个解向量且 AX 3 有非零解(1)求 a，b 的值；(2)求 BX0的通解21 设 ， 是三维单位正交列向量，令 A T T证明： (1) A 0； (2)， 是 A 的特征向量； (3)A 相似于对角阵，并写出该对角阵22 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为(1)问 X，Y 是否独立?(2)分别求UX 2 和 VY 2 的密度函数 fU(u)和 fV(v)，并指出(U，V)
6、 服从的分布；(3)求P(U2V 21)23 设总体 XB(1，p)X 1，X 2，X n 是来自 X 的样本(1)求(X1，X 2，X n)的分布律； (2)求 E( )，D( )，E(S 2)考研数学（数学三）模拟试卷 368 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的保号性及极值的定义判别之仅(D)入选 由 f(x)可导和f(2)0 知，x2 是 f(x)的驻点，但由 根据极限保号性及(x一 2)2 0 知，当 x2 时，f(x)0，所以 f(2)一定不是 f(x)的极值2 【正确答案】 C【试题解析】 因函数 f
7、(x)在 xx 0 处可微的充要条件是 f(x)在 xx 0 处可导，归结为讨论下列函数在 x0 处是否可导的问题解一 对选项(A)，故 f(x)在 x0 处不可导，所以 f(x)在 x0 处不可微对选项(B)，故 f(x)在 x0 处不可导，因而在 x0 处也不可微对选项(C)，解二 利用本书试卷七第 1 题的解题思路中的命题结论而知仅(C)入选 (因 1) 所以 f(x)在x0 处可导仅(C) 入选对选项 (D)，即 不存在，故 f(x)在x0 处不可导，当然在 x0 处也不可微3 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，y)在整个平面上有定义，且 f(0，0)0又 0f(0，0)，这表明
8、f(x，y)在点(0 ，0) 处连续，从而 (A)不正确 因 f(x，0)f(0，y)0，对任意 xR，任意yR于是 (0，y) 0，且在点(0，0)处有 (0，0)0，可见(B)不正确因 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是不难发现，当yx0 时，这表明上述极限不为零，即(D)不正确仅(C) 入选4 【正确答案】 A【试题解析】 利用比较判别法的极限形式判别之，对于此判别法，一是要注意仅适用于正项级数，二要注意极限值 的取值情况不同，结论是不同的，特别当0 或时，其结论要记清楚这时不能判断两个正项级数同时收敛或发散对于比较判别法，当 ，0 时，级数 同时收敛或发散，因此仅(A)
9、 入选 当 时，有可能 发散；当 时，有可能 收敛5 【正确答案】 D【试题解析】 先由两矩阵相似的必要条件(行列式相等)，排除一些矩阵，再由特征值相等的条件确定选项A 12，而A 20，A 3一 2，故排除(B)、(C)再由 A 的特征值为 1，2，而 A1 的特征值为一 1，一 2，排除 A1，仅A4A 仅(D) 入选注意 常用的两矩阵 A 与 B 相似的必要条件有：(1)A B；(2)r(A)r(B) ；(3)EAEB，即 A 与 B 有相同的特征值，(4)tr(A)tr(B)，即 ，其中 Aa ijnn，Bb ijnn6 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 A 的特征值，确定正负惯性
10、指数，再确定选项设 是矩阵A 的特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A ， 0那么由 (A22A 3E)0 有 ( 223)0， 22 3(3)(1)0由此可知，矩阵 A 的特征值只能是 1 或一 3因为 A 可逆，正惯性指数 p1，则负惯性指数必为 2，所以 A 的特征值为 1， 2 3一 3，从而正交变换下该二次型的标准形为 仅(D)入选7 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 不相关的充要条件有： (1)E(XY)E(X).E(Y)； (2)D(X Y)D(X) D(Y)； (3)cov(X，Y) 0； (4) xy0 本例使用条件 cov(X，Y) 0 更方便由 E()E
11、(X 2 一 Y2)E(X 2)E(Y 2)， 而 XY XY 则 E()E(X) E(Y)， E() E(X)E(Y)， 于是 cov(， )E(X 2)一 E(Y2)一(E(X)E(Y)(E(X)E(Y) E(X 2)一(E(X) 2 一(E(Y 2)一(E(Y) 2)E(X)E(Y)一 E(X)E(Y) D(X) 一 D(Y) 因此 cov(，) 0 的充要条件是 D(X)D(Y)仅(B)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用服从正态分布的随机变量取值概率的对称性求之，也可利用标准正态分布的性质求之解一 因 XN(2， 2)，由其对称性得到 P(X2)P(X2)05，且 P(0X2)
12、P(2X4)于是由 P(X2)P(X0)P(0X2)， P(X 2)P(2X4)P(X 4)得到 P(X0)P(0X2)P(2X4)P(X 4) ，即 P(X0)P(X 4)P(X2)一 P(2X4)050302解二 由 P(2X4)P(0 一 (0) ( )0503 得到 ( ) 08而 P(X0)p()1，故 P(x0)( )10802仅(A)入选二、填空题9 【正确答案】 6【试题解析】 可用下述结论观察求出，也可利用 n 阶无穷小定义求出当 f(x)连续且 xa 时，f(x)是 xa 的 n 阶无穷小量，g(x)是 x 一 a 以的 m 阶无穷小量，则当 xa 时， f(t)dt 必为
13、 xa 的 n1 阶无穷小量， f(t)dt 必为 x 一 a 的(n1)m 阶无穷小量解一 因 sinx2 是 x0x 的 2 阶无穷小量，1cosxx 22为 x 的 2 阶无穷小量，则 x0 时， sint2dt 为 x 的(21)26 阶无穷小量，即 n6解二因而n610 【正确答案】 【试题解析】 分段积分，且作变量代换求之11 【正确答案】 【试题解析】 积分区域为圆域的一部分，被积函数又为 f(x2y 2)的形式，应用极坐标系计算所给二次积分的积分区域为 D(x，y)yx它为圆域 x2y 2a2 在第一象限的 12，即 D(r，) 0ra，04)应改换为极坐标系计算：原式12 【
14、正确答案】 【试题解析】 所给方程化为全微分方程而解之此方程可化为 xdyydxxy 2dx两边乘以 得到 故得 d(13 【正确答案】 1【试题解析】 分别求出 r(A*)，r(B *)如果 r(B*)为满秩矩阵，则 r(A*B*)r(A *) 因 r(A)3，故 r(A*)1(因当 r(A)n 一 1 时，r(A *)1)又 r(B)4，故 r(B*)4(因 r(B)n ，则 r(B*)n)，即 B*为满秩矩阵，于是 r(A *B*)r(A *)114 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 所服从的分布即知 E(X) 34， E(Y) 12， 且 E(XY)P(X1，Y 1)今又已知 c
15、ov(X，Y)18，从而可由 cov(X，Y) E(XY)E(X)E(Y)1 8 求出 E(XY)P(X1，Y1)12有了这个数据，就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布由题设易知，E(x)又 cov(x， Y)E(XY)一 E(x)E(Y)E(XY)一 ，故 E(XY) 由于 XY 仅取 0 与 1 两个值，E(XY)1.P(XY1)P(x 1，Y 1) ，再根据联合分布与边缘分布的关系，即可求出 X 与 Y 的联合分布事实上由p12p 22p 121212，得到 p120由 p 11p 12p 11014， 即得p1114又由 p11p 2114p 2112，得到 p2114于是得
16、到其联合分布为 注意 大家知道由联合分布可求出边缘分布，但仅由边缘分布求不出联合分布如果在给出边缘分布的同时还附加某些条件，如相互独立，或条件分布或某些概率值，则可求出其联合分布上例就是在给出边缘分布的条件下，还给出了一个概率值 P(X1，Y 1)E(XY)12当然，这个值不是直接给出，而是要你推导的三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 0 时， 当02 时， 当 2时， 【试题解析】 要根据 的不同的值，去掉被积函数的绝对值符号由x0 得到 x，而 x0，2，因而要根据 0，02 及 2 三种情况讨论16 【正确答案】 因为xf(x)dxxdf(x) xf
17、(x)f(x)dxxf(x)一 f(x)C ，又由 f(x)g(x) ， g(x)f(x)(x)，于是有 xf(x)dx xg(x)一g(x)(x)Cxg(x) 一 g(x)(x)C cosx C 注意 上例不必求解微分方程 g(x)一 xg(x)cosx (x)求出 g(x)【试题解析】 从不定积分xf(x)dx 的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可用分部积分法求之17 【正确答案】 令 则 F(a)0(因 F(x)中第 1 行与第 3 行相同)，F(2) 0(因 F(x)中的第 1 行与第 2 行相同)显然 F(x)在a， 2上连续，在(a， 2)内可导，因而 F(x)满足罗尔定理的所
18、有条件对F(x)在a， 2上使用罗尔定理知，存在 (a，2)，使 F()0，即【试题解析】 将上三阶行列式的第 1 行的 3 个元素分别视为函数 x2，sinx，dt 在 处的导数值 令 验证 F(x)在区间a ，2上满足罗尔定理的条件对 F(x)在a，2上使用罗尔定理即可证明待证等式18 【正确答案】 (1)由销售量 Q 与价格 P 的函数关系可解出 P 4，故利润 L 与 Q 的函数关系是 LPQC Q 210Q50，其中 Q0(2)令 L(Q) 2Q100，可得到唯一驻点 Q5又因 L(Q)一一 20，可见 L(5)是 L 的极大值由极值点的唯一性知， L(5)就是 L(Q)的最大值，且
19、最大利润为 maxLL(5) 75【试题解析】 将利润仅表示成 Q 的函数关系，为此需将价格也要写成 Q 的函数，然后按极值(最值) 的一般求法求出19 【正确答案】 由 StD t 得 32P t43P t1 ， 即 P t 此为一阶常系数线性非齐次差分方程由于 a b1，故方程特解为 A代入方程得 A15对应齐次方程的通解是 C( )t，于是该题的通解为 P t 其中 C 为任意常数利用初始条件 t0 时，P tP 0，求出常数CP 0 一 ，则价格随时间变化的规律为 Pt【试题解析】 由题设条件可得一差分方程 P t(32)P t1 12(12).1 x因特征根 一 32b1，故可设特解
20、 A20 【正确答案】 (1)因 B0，故 r(B)1，因而 BX 0 的基础解系所含解向量的个数为 n 一 r(B)312 个而 1， 2， 3 均是 BX0 的解，故 1， 2， 3 必线性相关，于是 1， 2， 3 0 解得 a3b又 AX 3 有非零解，即3 可由 A 的 3 个列向量 线性表示，由观察易看出 33 12 2可见， 3 可由 1， 2 线性表示，因此 3， 1， 2 线性相关，于是 3， 1， 2 0，解得 b5，从而 a15(2)由题设 r(B)1，于是 3 一 r(B)2，又已知 1， 2 为 BX0 的两个线性无关的解，故 3 一 r(B)2，所以 3 一 r(B
21、)2， 1， 2 即可作为 BX0 的基础解系，故通解为 Xk 11k 22 (k1，k 2 为任意常数 )【试题解析】 因 r(B)1，故 1， 2， 3 必线性相关又由 AX 3 知， 3 可表示为 A 的 3 个列向量的线性组由这两个线性关系式可求出 a，b21 【正确答案】 (1)A 为三阶矩阵， r(A)r( T T)r(T)r( T)r()r()23， 故A0 (2)因 ， 为三维单位正交向量，故 T1， T1， T T0 当然 ， 线性无关，又 ， 为单位向量，0，故 A()( T T)() T T T T .0 .1 .1.0 即 为 A 的对应于特征值 11 的特征向量同法可
22、求 A( )( T T)() T T T T .0 .1 .1.0() ， 故 为 A 的对应于特征值 21 的特征向量 设另一特征值为 3，由A0 得到A 1230，故 30 (3)因 A有 3 个不同特征值，故 AAdiag(0，1，一 1)，即其相似对角矩阵为 Adiag(0，1，一 1)(diag 为对角矩阵的英文简写)【试题解析】 (1)利用 r(BC)r(B)r(C)，r(BC)r(B)，r(C)，证明 r(A)3；(2)利用特征向量的定义，即利用 A() k( )，A()C()证之；(3)证明 A 有 3 个不同的特征值即可22 【正确答案】 (1) 由于 f(x，y)f X(x
23、).fY(y)， (x，y) R2，故 X，Y 相互独立(2)F U(u)一 P(Uu)P(X 2u) f(x)dx 由于 X，Y 相互独立，所以 UX 2 和 VY 2 也相互独立，从而(U，V) 的密度函数为 fUV(uv)f U(u)fV(v) 由此表明，(U，V) 服从区域DUV(u ， v)0u1 ， 0v1)上的均匀分布(3) 由(2) 可知(记D(u ，v)u 2v 21，u0，v0) P(U 2V 21)【试题解析】 从直观上可看出 X，Y 独立，因而其函数 X2 和 Y2 也独立，求出边缘密度 fX(x)，f Y(y)，再求出 U 与 V 的分布，利用独立性即可求得(U，V) 的分布23 【正确答案】 (1)因 X 的分布律为 P(Xx)p x(1 一 p)1x ，x0，1，故(X1，X 2，X n)的分布律为 P(X1x 1，X 2x 2，X nx n) 其中xi0，1；i1，2，n(2) 因 XB(1，p)，故 E(X)p，D(X)p(1 一 P)，E(Xi)np(1 一 p)，所以 E(.npp， np(1p)np 2p(1 p)np 2 (n 一 1)p(1 一 p) P(1 一 p)【试题解析】 利用二项分布的分布律及其期望、方差求之求时还应利用 s2简化计算
