1、考研数学（数学三）模拟试卷 384 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 0，则( )（A）k=2，a=一 2（B） k=一 2，a= 一 2（C） k=2，a=2（D）k=一 2，a=22 y= 坐的渐近线的条数为( ) （A）2（B） 3（C） 4（D）53 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足+ =一 z，若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小
2、值4 设常数 a 0，正项级数 收敛，则 ( ).（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）级数敛散性与 a 有关5 A= ，其中 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等，下列命题正确的是( )（A）方程组 AX=0 只有零解（B）方程组 ATX=0 有非零解（C）方程组 ATAX=0 只有零解（D）方程组 AATX=0 只有零解6 对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得一 E，且A0，则 A 等于( )（A）（B）（C）（D） 7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0 ，1)，则 Z=F1(Y)的分布函数( ).（
3、A）可导（B） 连续但不一定可导且与 X 分布相同（C） 只有一个间断点（D）有两个以上的间断点8 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量， 是样本均值，记 = 则_.（A）（B）（C）（D）二、填空题9 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_10 差分方程 yx+13yx=2.3x 的通解为_11 设 z= f(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，则 =_12 微分方程 一 3y+2y=2ex 满足 =1 的特解为 _13 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一3，0，则B 1 +2E=_14 设 X1，X
4、 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=,D(X)=2，令U= Xi，V= =Xi(ij)，则 uv=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 令 x=cost(02) 一 xy+y=0 化为 y 关于，的微分方程，并求满足=2 的解16 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0 ，1上的最小值为一 1证明：存在 (0，1)使得 ()817 计算 (a0)18 某企业生产某种商品的成本函数为 C=a+bQ+cQ2，收入函数为 R=Q一 sQ2，其中常数 a，b， c，s 都是正常数，Q 为产量，求： ()当税率为 t 时，该企业获得最
5、大利润时的销售量； ()当企业利润最大时，t 为何值时征税收益最大19 求幂级数 的收敛区域与和函数20 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=r( )=r =(A b) (I)证明方程组 AX=b 有且仅有 n一 r+1 个线性无关解；( ) 有三个线性无关解，求a，b 及方程组的通解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 2x 1x2+6x1x36x 2x3 的矩阵合同于() 求常数 a；()用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形. 22 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数fz(z)23 设总体 x 的密度函数
6、为 f(x)= 其中 一 1 是未知参数，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本 (I)求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 384 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，cos2x =(1 )(1cos2x)，因为 1 一 =x2，1cos2x (2x)2=2x2 所以 cos2x 一 =(1)(1cos2x) x2，故 k=2，a=一 2，选 (A)2 【正确答案】 C【试题解析】 由 为两条水平渐近线；由 为铅直渐近线； 由 =0 得曲线没有斜渐近线，故曲线共有
7、 4 条渐近线，选(C) 3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时 = =0，这与 0矛盾，即 f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到，选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0又因为都收敛，所以 收敛，根据比较审敛法得收敛，即 (一 1)n 绝对收敛，选(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 由 =(a3
8、一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)0，得 r(A)=3由 r(A)=3 4，得方程组 Ax=0 有非零解，不选 (A)；由 r(AT)=r(A)=3，得方程组 ATX=0只有零解，不选(B)；由 r(A)=r(ATA)=34，得方程组 ATAX=0 有非零解，不选(C)；由 R(A)=r(AAT)=3，得方程组 AATX=0 只有零解，选 (D)6 【正确答案】 A【试题解析】 由一 E=E13A*E23(一 2)，得 A*=一 (一 2)=一 E13E23(2)，因为A*=A 2=1 且A0，所以A=1，于是 A*=A1 故 A=(A*)1 =(2) =E 23(2)E 13=
9、，选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 FY(y)= ，则 Z=F1 (Y)的分布函数为 FZ(Z)=PZz=PF1 (Y)z=PYF(z)=FYF(z)，因为0F(z)1，所以 Fz(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选(B).8 【正确答案】 B【试题解析】 令 S2= N(0，1) ，由 2(n1)，且与 相互独立，由 t 分布的定义， t(n1)，选(B).二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=3，y=1， ，而 =2t 一 2,eycost+eysint 一=0，将 t=0。代入得 ，于是切线的斜率为，
10、于是法线为 y 一 1= (x 一 3)，即法线方程为 y= +1 一 10 【正确答案】 【试题解析】 齐次差分方程 yx+1 一 3yx=0 的通解为 y=A3x，设差分方程 yx+13yx=2.3x 的特解为 y0(x)=Cx3x，将 y0(x)=Cx3x 代入方程 yx+1 一 3y=2.3x 得 C= ，故原差分方程的通解为 y(x)=A3x+2x3x1 11 【正确答案】 【试题解析】 =2xyf(x2y， )， =2xf+2xf( )=2xf+2x3y(f1+ ).12 【正确答案】 y=3e x+3e2x2xe x【试题解析】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1，
11、 2=2， 一 3y+2y=0 的通解为令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=一 2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x 一 2xex 由 =1 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得 C1=一3，C 2=3，特解为 y=一 3ex+3e2x 一 2xex13 【正确答案】 -8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，一 3，0，所以 AE 的特征值为 2，一 4，一1，从而 AE 可逆， 由 E+B=AB 得(AE)B=E ，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B的特征值为 ，一 ，一 1，B 1 的特征值为 2，一 4，一 1，从而 B1 +2E 的特征值为 4，
12、2，1，于是B 1 +2E= 一 814 【正确答案】 【试题解析】 由 U= 一 Xi= + 得 D(U)=D(V)= Cov(U，V)=Cov( Xi， 一 Xi) =Cov( )Cov(X i， )一 Cov( ，X i)+Cov(Xi，X j) =D( )一 2Cov(Xi， )=， 则 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ， 代入原方程得 +y=0， 该方程的通解为 y=C1cost+C2sint， 原方程的通解为 y=C1x+C2， 将初始条件 =2 代入得 C1=2，C 2=1，故特解为 y=2x+16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连
13、续，所以 f(x)在0，1上取到最小值和最大值又因为 f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0，1上的最小值为一 1，所以存在 c(0，1)，使得 f(c)=一 1 (c)=0，由泰勒公式得 整理得当 c(0， 时，因为 c2 ，所以 (1)= 8，此时取 =1；当 c ，1)时，因为(1 一 c)2 ，所以 (2)= 8，此时取 =217 【正确答案】 令 ，( 0，0r一 2asin)，则 18 【正确答案】 () 利润函数为 L=R C 一 tQ=QsQ 2 一 a 一 bQ 一 cQ2 一 tQ，令 =一 2sQ 一 b2cQ 一 t=0 得 Q= .因为 =一 2s 一 2c=一 2
14、(c+s)为企业获得最大利润时的销售量()税收函数 T=tQ= ，令=0 得 t= 因为 时，征税收益最大19 【正确答案】 由 =1 得级数的收敛半径为 R=1. 当 x=1 时，因为分散，所以当 x=1 时，级数发散； 当 x=一 1 时， 因为 与都收敛，所以当 x=一 1 时，级数收敛， 故级数的收敛域为一 1，1) 令 S(x)= =(58x)ln(1 一 x)+5x(一 1X20 【正确答案】 (I)令 1， 2， 为 Ax=0 的基础解系， 0 为 Ax=b 的特解，显然 0=0， 1=1+0， 为 Ax=b 的一组解，令=0，即 +(k0+k1+ )0=0上式左乘 A 得(k
15、0+k1+ )=0，因为 b0时，k 0+k1+ =0，于是k11+k22+knr nr ，因为 1， 2， nr 为 Ax=0 的基础解系，所以k1=k2=knr =0，于是 k0=0，故 0， 1， nr 线性无关 若0， 1， ， nr+1 为 AX=b 的线性无关解，则 1=1 一 0， 一 0 为AX=0 的解，令 k11+k22+ =0，则 k 1 1 +k22+knr+1 nr1 (k 1+k2+knr+1 )0=0 因为 0， 1， nr+1 线性无关，所以 k1=k2=kn-r+1=0,即 1， 2， n-r+1 为 AX=0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b 恰有 n
16、r+1 个线性无关解()令 A=则 化为 AX=因为 Ax=有三个非零解，所以 AX=0 有两个非零解，故 4r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以 r(A)=r( )=2 则 a=3，b=1 由得原撇的通解为其中 k1，k 2 为任意常数)21 【正确答案】 () 令 A= 则 f(x1，x 2,x3)=XTAX.因为 A 与 合同，所以 r(A)=2()由E 一A= =(4)(9)=0 得 1=0， 1=0， 2=4， 3=9由(0E A)X=0 得 ；由 (4EA)X=0 得 ；由(9EA)X=0 得令Q=(1， 2， 3)= ，则 f(x1，x 2 ,x3)=XTAXYT(Q
17、TAQ)Y=22 【正确答案】 X，Y 的边缘密度分别为因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)=fx(x)f Y(y)= FZ(z)=Pzz=PX+Yz= f(x，y)dxdy，当 z0 时，F Z(z)=0；当 0zZ(z)= dx e-ydy= (1 一 exz )dx=ze z (ez1)=z+e z 1；当 z1时，F Z(z)=*167dx ey dy=(1 一 exz )dx 即 FZ(z)= 故 fZ(z)=23 【正确答案】 (I)E(x)= ，令 ，得参数的矩估计量为 ()记样本观察值为 x1，x 2，x n，似然函数为 则 lnL=nln(+1)+ lnxi(0x i1)，令 ，得参数的最大似然估计值为 ，则最大似然估计量为
