1、考研数学（数学三）模拟试卷 405 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x n与y n均无界，z n有界，则 ( )（A）x n+yn必无界（B） xnyn必无界（C） xn+zn必无界（D）x nzn必无界2 设 f(x)= ，F(x)= 1xf(t)dt，则 F(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 设 是 f(x)的一个原函数，对于下述两个反常积分 ()= 0+x4f(x)d r， ()=0+x3f“(x)dx， 正确的结论是 ( )4 由方程 2y3 一 2y2 一 b2xy+yx2=0
2、 确定的函数 y=y(x) ( )（A）没有驻点（B）有驻点但不是极值点（C）驻点为极小值点（D）驻点为极大值点5 设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则下列关系中不正确的是 ( )（A）A+B = AB （B） (AB)1=A1B1（C） (AE)x=0 只有零解（D）BE 不可逆6 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个特征值，且满足 a1236，若 AE 是正定阵，则参数 应满足 ( )（A）b（B） b（C） a（D）a7 设连续函数 F(x)是分布函数，且 F(0)=0，则也可以作为新分布函数的是 ( )8 随机变量 XN(2，4) ，YN(2
3、，5)，且 D(X+Y)=DXDY+14，则下列正确的是 ( )（A）E(XY)=EXEY+2(DXDY)（B） D(XY)=DY（C） X，Y 独立（D）X，Y 不相关二、填空题9 设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y+x2y=x 的满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，并设存在且不为零，则正整数 k=_，该极限值=_10 =_11 微分方程 满足初始条件 y(1)=1 的特解是_。12 02xsin8xdx=_13 设 1=(1，一 2，1，0，0) T， 2=(3，一 6，2，1，0) T， 3=(5，一 6，0，0，1)T， 4=(1，一 2，0，1，0) T 都是齐次线性方程
4、组 aijxj=0，i=1，2，3，4 (*) 的解向量，且(*)的任一解向量可以由 1， 2， 3， 4 线性表出，则方程组的通解为_14 已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，且 P(X0，Y 2=a ，则PX0，Y2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 F(x)=+x 一 t dt，求 F“(x)16 设 D=(x， y)0x2 ，0y2)，计算 xy1d17 ()叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 的定义； ()证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)
5、与fy(x0，y 0)都存在，且 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y； ()举例说明()的逆定理不成立18 设常数 a 0，讨论曲线 y=ax 与曲线 y=2ln x 的公共点的个数19 20 设 A= X 是 2 阶方阵 ( )求满足 AX 一 XA=O 的所有 X； ()方程AX 一 XA=E，其中 E 是 2 阶单位阵问方程是否有解，若有解，求满足方程的所有 X；若无解说明理由21 已知 A= ，求 A 的特征值，并讨论 A 可否相似对角化22 在线段(0 ，1) 上随机投掷 2 个点，该两点的距离为 X试求： ()X 的概率密度fX(x)； ( )X 的数学期望 EX23
6、 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为 考研数学（数学三）模拟试卷 405 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法证明x n+zn必无界设z n+zn有界，且由题设z n有界，则存在 M0 与 M10，对一切 n，z n+znM 与z nM 1，有 x n=x n+zn一 znx n+zn+ z n M+M1， 从而x n有界，与题设矛盾故应选 (C)2 【正确答案】 C【试题解析】 具体计算出 F(x)如下 当 x0 时， F(x)=1xf(t)dt=1xetdt=exe1；
7、 当 x0，F(x)= 1xf(t)dt=10etdt+0xt2dt=1e1+ 再讨论(A) 、(B)、(C)、(D)哪个选项正确即 F(x)在 x=0 处左、右导数不相等，故 F(x)在 x=0 处不可导，故应选(C) 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 将所给方程两边对 x 求导数，y 看成由此式确定的 x 的函数，则有 6y2y一 4yy+2y+2xy+y一 2x=0， (6y 2 一 4y+2x+1)y+2(yx)=0 先考虑驻点，令y=0，得 y=x再与原方程联立： 得 2x3 一2x2+2x2+xx2=0，即 x(2x2 一 x+1)=0 由于 2x
8、2 一 x+1=0 无实根，故得唯一实根x=0，相应地有 y=0在此点有 y=0故不选(A) 再看此点是否为极值点，求二阶导数由 将x=0，y=0，y 0 代入，得 y“(0)=20，所以该驻点为极小值点选(c)5 【正确答案】 D【试题解析】 因 A，B 满足 AB=A+B，两边取行列式，显然有A+B=AB=A B，(A)正确 由 AB=A+B， 移项，提公因子得 AB=A=A(BE)=B， A(BE)=BE+E， (AE)(BE)=E 故 AE，BE 都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(AE)x=0 只有零解，(C)正确BE不可逆是错误的，(D) 不正确又因 (AE)(BE)=E，
9、故 (BE)(A E)=E， 从而有 BA 一 AB+E=E，BA=A+B ，得 AB=BA，则 (AB)1=(BA)1=A1B1，故(B)正确 因此(A) 、(B)、(C)是正确的，应选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 A 一 E 的特征值为 1 一 ， 2 一 ， 3，且满足 a 1 一2 一 3 一 b 一 当 b 一 0 即 b 时，A 一 E 的全部特征值大于等于正值，故 A 一 E 是正定矩阵，应选 (B) (A)中 b，即 b 一 0，A 一 E的全部特征值大于等于负值，不能确定 A 一 E 的正定性 (C)中 a，即 a 一0，A 一 E 的全部特征值小于等于负值，A 一
10、 E 是负定矩阵 (D) 中 a，即 a 一 0，A 一 E 的全部特征值小于等于正值，不能确定 A 一 E 的正定性7 【正确答案】 C【试题解析】 应用分布函数的必要条件排除，由于 Gi(x)(i=1，2，3，4)是分段函数形式，x=1 是分界点，于是立即想到要判断 Gi(x)=Gi(1)=0 是否成立因为0F(1)1，经计算得=F(1)+F(1)0利用排除法，可得正确选项为(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX DY+14，把 DX=4，DY=5 代入上式，得Cov(X，Y)=20，故(C)、(D) 错误(A)选项不成立，因为 E(XY
11、)=Cov(X，Y)+EX EY=2+22=6 ，而EXEY+2(DXDY)=22+2(45)=2(B)选项成立，因为 D(XY)=DX+DY 一 2Cov(X，Y)=4+DY 一 22=DY二、填空题9 【正确答案】 2；一【试题解析】 10 【正确答案】 (e2 一 1)【试题解析】 由上、下限知，积分区域 D=D 1D2=(x，y)0x1，0y1)(x， y)ln yx1，1ye =(x，y)0ye x，0x111 【正确答案】 y=xe 1x【试题解析】 此微分方程为一阶齐次方程，令 y=ux，有 ，原方程化为 u+ uln u=0，u x=1=1 得 ln ln u 一 1=lnC
12、1x， 去掉绝对值号，得ln u=C1x+1，u= ，以 u x=1=1 代入得 C1=一 1，u=e 1x，故原方程的 解为y=xe1x12 【正确答案】 【试题解析】 02xsin8xdx=20(2t)sin8(2 一 t)(一 dt) =022nsin8tdt02tsin8tdt， 13 【正确答案】 k 11+k22+k33(或 k11+k23+k34)，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【试题解析】 方程组(*)的基础解系是 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组，其通解为 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组的全部线性组合 对( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，可知1，
13、2， 3(或 1， 3， 4)是 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组 故(*)的通解为k11+k22+k33(或 k11+k23+k34)14 【正确答案】 a【试题解析】 记 A=X 0，B=Y2u ，由题设知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将第一个积分作积分变量代换，令 t=一 u，并将变换后的 u 仍记为 t，并与第二项合并，注意到这两个反常积分都是收敛的，于是 16 【正确答案】 作出区域 D，如图所示在 D 中作曲线 y= ，将区域 D 分成 D1，D 2 及 D317 【正确答案】 () 定义：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某
14、邻域 U 内有定义，(x 0+x，y 0+y)U增量 z=f(x 0+x，y 0+y)f(x0，y 0) Ax+By+o()， (*) 其中 A，B 与x 和 y 都无关，= =0，则称 f(x，y)在点(x0，y 0)处可微，并称 为 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的微分( )设 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则(*)式成立令 y=0，于是()当 fx(x0， y0)与 fy(x0， y0)存在时，z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处未必可微反例：fy(0，0)=0两个偏导数存在以下用反证法证出 f(x，y)在点(0 ，0)处不可微若可微，则有 f=f(x，
15、y)一 f(0，0)=0x+0 y+o()，极限值随 k 而异，(*) 式不成立，所以不可微18 【正确答案】 曲线 y=2ln x 的定义域为 x0，故只要考虑右半平面 x0 上曲线y=2ln x 与 y=ax 的公共点即可令 f(x)=ax 一 2ln x，19 【正确答案】 20 【正确答案】 显然方程组中第 1 个和第 4 个方程相互矛盾，故矩阵方程 AX 一 XA=E 无解21 【正确答案】 故有1=1+a， 2=a， 3=1 一 a看特征值是否有重根，对任意 a， 1=1+a2=a22 【正确答案】 () 设在(0，1) 上随机投掷两点 X1，X 2(0X 11，0X 21)，则(X1，X 2)服从区域 (0，1)(0，1)上的二维均匀分布，令 X=X 1 一X20，1)当 X0 时，F X(x)=0；当 X1 时，F X(x)=1；当 0x1 时，F X(x)=P(Xx=PX 1 一 X2x = (1-x)22 =1 一(1 一 x)2，其中 D 如图中阴影部分所示23 【正确答案】 () 似然函数为：L()= ，x i，i=1，2，n 显然 L()是 的单调增函数，因此 的最大似然估计量为 =Xmin 又 Xmin 的密度函数为 g(x)=ne-n(x-)，x ，故
